Wat is het verschil tussen twee sets in de verzamelingenleer?

Het rode gebied van het Venn-diagram geeft de verzameling A - B. C.K.Taylor . aan

Het verschil van twee sets, geschreven EEN - B is de verzameling van alle elementen van EEN die geen elementen zijn van B . De verschiloperatie, samen met unie en intersectie, is een belangrijk en fundamentele verzamelingenleer operatie .

Beschrijving van het verschil

Het aftrekken van het ene getal van het andere kan op veel verschillende manieren worden bedacht. Een model om te helpen bij het begrijpen van dit concept is het afhaalmodel van aftrekken . Hierin zou het probleem 5 - 2 = 3 worden aangetoond door te beginnen met vijf objecten, er twee te verwijderen en te tellen dat er nog drie over waren. Op een vergelijkbare manier waarop we het verschil tussen twee getallen vinden, kunnen we het verschil van twee sets vinden.

Een voorbeeld

We zullen een voorbeeld van het ingestelde verschil bekijken. Om te zien hoe het verschil van twee sets vormt een nieuwe set, laten we eens kijken naar de sets EEN = {1, 2, 3, 4, 5} en B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Om het verschil te vinden EEN - B van deze twee verzamelingen beginnen we met het schrijven van alle elementen van EEN , en verwijder dan elk element van EEN dat is ook een element van B . Sinds EEN deelt de elementen 3, 4 en 5 met B , dit geeft ons het ingestelde verschil EEN - B = {1, 2}.

Bestelling is belangrijk

Net zoals de verschillen 4 - 7 en 7 - 4 ons verschillende antwoorden geven, moeten we voorzichtig zijn met de volgorde waarin we het verzamelingsverschil berekenen. Om een ​​technische term uit de wiskunde te gebruiken, zouden we zeggen dat de verzamelingsbewerking van verschil niet commutatief is. Wat dit betekent is dat we in het algemeen de volgorde van het verschil van twee sets niet kunnen veranderen en hetzelfde resultaat kunnen verwachten. We kunnen dat voor alle verzamelingen nauwkeuriger stellen: EEN en B , EEN - B is niet gelijk aan B - EEN .

Raadpleeg het bovenstaande voorbeeld om dit te zien. Dat hebben we berekend voor de sets EEN = {1, 2, 3, 4, 5} en B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, het verschil EEN - B = {1, 2 }. Om dit te vergelijken met: B - EEN, we beginnen met de elementen van B , die 3, 4, 5, 6, 7, 8 zijn, en verwijder vervolgens de 3, de 4 en de 5 omdat deze gemeen hebben met EEN . Het resultaat is B - EEN = {6, 7, 8 }. Dit voorbeeld laat ons duidelijk zien dat: A - B is niet gelijk aan B - A .

het complement

Eén soort verschil is belangrijk genoeg om zijn eigen speciale naam en symbool te rechtvaardigen. Dit wordt het complement genoemd en wordt gebruikt voor het ingestelde verschil wanneer de eerste set is de universele set. Het complement van EEN wordt gegeven door de uitdrukking IN - EEN . Dit verwijst naar de verzameling van alle elementen in de universele verzameling die geen elementen zijn van EEN . Aangezien het duidelijk is dat de set van elementen waaruit we kunnen kiezen, worden genomen uit de universele verzameling, kunnen we eenvoudig zeggen dat het complement van EEN is de verzameling die bestaat uit elementen die geen elementen zijn van EEN .

Het complement van een verzameling is relatief aan de universele verzameling waarmee we werken. Met EEN = {1, 2, 3} en IN = {1, 2 ,3, 4, 5}, het complement van EEN is {4, 5}. Als onze universele set anders is, zeg: IN = {-3, -2, 0, 1, 2, 3 }, dan het complement van EEN {-3, -2, -1, 0}. Let altijd goed op welke universele set wordt gebruikt.

Notatie voor het complement

Het woord 'complement' begint met de letter C en wordt dus gebruikt in de notatie. De aanvulling van de set EEN is geschreven als EEN ^C. Dus we kunnen de definitie van het complement in symbolen uitdrukken als: EEN ^C= IN - EEN .

Een andere manier die vaak wordt gebruikt om het complement van een set aan te duiden, is een apostrof en wordt geschreven als EEN '.

Andere identiteiten die het verschil en de aanvullingen betreffen

Er zijn veel vaste identiteiten waarbij gebruik wordt gemaakt van de verschil- en complementbewerkingen. Sommige identiteiten combineren andere set-bewerkingen zoals de kruispunt en unie . Een paar van de belangrijkste worden hieronder vermeld. Voor alle sets EEN , en B en D wij hebben:

• EEN - EEN =∅
• EEN - = EEN
• - EEN =
• EEN - IN =
• ( EEN ^C)^C= EEN
• Wet van DeMorgan I: ( EEN B )^C= EEN ^C B ^C
• Wet van DeMorgan II: ( EEN B )^C= EEN ^C B ^C