Stel theorie

Gebeurtenissen A en B sluiten elkaar uit. CKTaylor

De verzamelingenleer is een fundamenteel concept in de hele wiskunde. Deze tak van de wiskunde vormt een basis voor andere onderwerpen.

Intuïtief is een set een verzameling objecten, die elementen worden genoemd. Hoewel dit een eenvoudig idee lijkt, heeft het enkele verstrekkende gevolgen.

elementen

De elementen van een set kunnen werkelijk alles zijn - getallen, toestanden, auto's, mensen of zelfs andere sets zijn allemaal mogelijkheden voor elementen. Zowat alles dat bij elkaar kan worden verzameld, kan worden gebruikt om een ​​set te vormen, hoewel er enkele dingen zijn waar we voorzichtig mee moeten zijn.

Gelijke sets

Elementen van een set zitten in een set of niet in een set. We kunnen een verzameling beschrijven met een bepalende eigenschap, of we kunnen de elementen in de verzameling opsommen. De volgorde waarin ze worden vermeld, is niet belangrijk. Dus de verzamelingen {1, 2, 3} en {1, 3, 2} zijn gelijke verzamelingen, omdat ze allebei dezelfde elementen bevatten.

Twee speciale sets

Twee sets verdienen een speciale vermelding. De eerste is de universele verzameling, meestal aangeduid met IN . Deze set bevat alle elementen waaruit we kunnen kiezen. Deze set kan per instelling verschillen. Een universele set kan bijvoorbeeld de set zijn van echte getallen terwijl voor een ander probleem de universele verzameling de gehele getallen {0, 1, 2,...} kan zijn.

De andere set die enige aandacht vereist, heet de lege verzameling . De lege set is de unieke set is de set zonder elementen. We kunnen dit schrijven als { } en deze verzameling aanduiden met het symbool ∅.

Subsets en de Power Set

Een verzameling van enkele elementen van een set EEN heet a subgroep van EEN . Wij zeggen dat EEN is een subset van B als en slechts als elk element van EEN is ook een element van B . Als er een eindig aantal is n elementen in een set, dan zijn er in totaal 2 ⁿ subsets van EEN . Deze verzameling van alle subsets van EEN is een verzameling die de wordt genoemd vermogensset van EEN .

Bewerkingen instellen

Net zoals we bewerkingen kunnen uitvoeren zoals optellen - op twee getallen om een ​​nieuw getal te verkrijgen, worden bewerkingen uit de verzamelingenleer gebruikt om een ​​verzameling te vormen uit twee andere verzamelingen. Er zijn een aantal bewerkingen, maar bijna alle zijn samengesteld uit de volgende drie bewerkingen:

• Unie – Een vakbond betekent een samenbrengen. De vereniging van de sets EEN en B bestaat uit de elementen die in ofwel EEN of B .
• Kruispunt - Een kruispunt is waar twee dingen samenkomen. Het snijpunt van de sets EEN en B bestaat uit de elementen die in beide EEN en B .
• Aanvulling - De aanvulling van de set EEN bestaat uit alle elementen in de universele verzameling die geen elementen zijn van EEN .

Venn diagrammen

Een hulpmiddel dat nuttig is bij het weergeven van de relatie tussen verschillende sets, wordt een Venn-diagram genoemd. Een rechthoek vertegenwoordigt de universele verzameling voor ons probleem. Elke set wordt weergegeven met een cirkel. Als de cirkels elkaar overlappen, illustreert dit het snijpunt van onze twee verzamelingen.

Toepassingen van verzamelingenleer

Verzamelingentheorie wordt gebruikt in de wiskunde. Het wordt gebruikt als basis voor vele deelgebieden van de wiskunde. Op het gebied van statistiek wordt het vooral gebruikt in kansrekening. Veel van de concepten in waarschijnlijkheid zijn afgeleid van de consequenties van de verzamelingenleer. Inderdaad, een manier om de axioma's van waarschijnlijkheid verzamelingenleer omvat.