Wat is de vermogensset?

Een vraag in verzamelingentheorie is of een set een subset is van een andere set. een subset van EEN is een verzameling die wordt gevormd door enkele elementen uit de verzameling te gebruiken EEN . in opdracht van B een subset zijn van EEN , elk element van B moet ook een element zijn van EEN .

Elke set heeft verschillende subsets. Soms is het wenselijk om alle mogelijke deelverzamelingen te kennen. Een constructie die bekend staat als de power set helpt bij dit streven. De vermogensset van de set EEN is een verzameling met elementen die ook verzamelingen zijn. Deze machtsset gevormd door alle subsets van een bepaalde set op te nemen EEN .

voorbeeld 1

We zullen twee voorbeelden van vermogensverzamelingen bekijken. Voor de eerste, als we beginnen met de set EEN = {1, 2, 3}, wat is dan het vermogen? We gaan verder met het opsommen van alle subsets van EEN .

• De lege verzameling is een subset van EEN . inderdaad de lege set is een subset van elke set . Dit is de enige subset zonder elementen van EEN .
• De sets {1}, {2}, {3} zijn de enige subsets van EEN met één element.
• De verzamelingen {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} zijn de enige deelverzamelingen van EEN met twee elementen.
• Elke verzameling is een deelverzameling van zichzelf. Dus EEN = {1, 2, 3} is een deelverzameling van EEN . Dit is de enige subset met drie elementen.

EEN EEN EEN

Voorbeeld 2

Voor het tweede voorbeeld zullen we de machtsverzameling van beschouwen B ={1, 2, 3, 4}. Veel van wat we hierboven zeiden is vergelijkbaar, zo niet identiek nu:

• De lege verzameling en B zijn beide deelverzamelingen.
• Aangezien er vier elementen zijn van B , zijn er vier subsets met één element: {1}, {2}, {3}, {4}.
• Omdat elke subset van drie elementen kan worden gevormd door één element te elimineren uit B en er zijn vier elementen, er zijn vier van dergelijke subsets: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}.
• Het blijft om de deelverzamelingen met twee elementen te bepalen. We vormen een subset van twee elementen gekozen uit een set van 4. Dit is een combinatie en er zijn C (4, 2) =6 van deze combinaties. De deelverzamelingen zijn: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.

B B

Notatie

Er zijn twee manieren waarop de vermogensverzameling van een verzameling EEN wordt aangeduid. Een manier om dit aan te duiden is door het symbool te gebruiken P ( EEN ), waar soms deze letter P is geschreven met een gestileerd schrift. Een andere notatie voor de machtsverzameling van EEN is 2 ^EEN . Deze notatie wordt gebruikt om de vermogensset te verbinden met het aantal elementen in de vermogensset.

Grootte van de Power Set

We zullen deze notatie verder onderzoeken. Als EEN is een eindige verzameling met n elementen, dan zijn vermogensset VADER ) heeft 2 ⁿ elementen. Als we met een oneindige verzameling werken, dan is het niet handig om aan 2 . te denken ⁿ elementen. Een stelling van Cantor vertelt ons echter dat de kardinaliteit van een verzameling en zijn machtsverzameling niet hetzelfde kan zijn.

Het was een open vraag in de wiskunde of de kardinaliteit van de machtsverzameling van een aftelbaar oneindige verzameling overeenkomt met de kardinaliteit van de reële getallen. De oplossing van deze vraag is vrij technisch, maar zegt dat we ervoor kunnen kiezen om deze identificatie van kardinaliteiten te maken of niet. Beide leiden tot een consistente wiskundige theorie.

Machtssets in waarschijnlijkheid

Het onderwerp waarschijnlijkheid is gebaseerd op de verzamelingenleer. In plaats van te verwijzen naar universele verzamelingen en deelverzamelingen, hebben we het in plaats daarvan over voorbeeldruimtes en evenementen . Soms willen we bij het werken met een voorbeeldruimte de gebeurtenissen van die voorbeeldruimte bepalen. De vermogensset van de monsterruimte die we hebben, geeft ons alle mogelijke gebeurtenissen.