Definitie en gebruik van unie in de wiskunde

Een bewerking die vaak wordt gebruikt om nieuwe sets van oude te vormen, wordt de unie genoemd. In algemeen gebruik betekent het woord vakbond een samenbrengen, zoals vakbonden in de georganiseerde arbeid of de Staat van de Unie adres dat de V.S. President maakt voor een gezamenlijke zitting van het Congres. In wiskundige zin behoudt de vereniging van twee verzamelingen dit idee van samenbrengen. Meer precies, de vereniging van twee sets EEN en B is de verzameling van alle elementen x zoals dat x is een element van de set EEN of x is een element van de set B . Het woord dat aangeeft dat we een unie gebruiken, is het woord 'of'.

Het woord 'of'

Wanneer we het woord 'of' gebruiken in dagelijkse gesprekken, realiseren we ons misschien niet dat dit woord op twee verschillende manieren wordt gebruikt. De weg wordt meestal afgeleid uit de context van het gesprek. Als je werd gevraagd Wil je de kip of de biefstuk? de gebruikelijke implicatie is dat u het een of het ander kunt hebben, maar niet beide. Vergelijk dit met de vraag: Wil je boter of zure room op je gepofte aardappel? Hier wordt 'of' in de alomvattende zin gebruikt, in die zin dat je alleen boter, alleen zure room of zowel boter als zure room kunt kiezen.

In de wiskunde wordt het woord 'of' gebruikt in de inclusieve zin. Dus de verklaring, ' x is een element van EEN of een element van B ' betekent dat een van de drie mogelijk is:

• x is een element van gewoon EEN en geen element van B
• x is een element van gewoon B en geen element van EEN .
• x is een element van beide EEN en B . (Dat zouden we ook kunnen zeggen) x is een element van het snijpunt van EEN en B

Voorbeeld

Laten we, voor een voorbeeld van hoe de vereniging van twee sets een nieuwe set vormt, eens kijken naar de sets EEN = {1, 2, 3, 4, 5} en B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Om de vereniging van deze twee verzamelingen te vinden, vermelden we eenvoudig elk element dat we zien, waarbij we ervoor zorgen dat we geen elementen dupliceren. De nummers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 bevinden zich in de ene of de andere set, dus de vereniging van EEN en B is {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.

Notatie voor Unie

Naast het begrijpen van de concepten met betrekking tot verzamelingenleerbewerkingen, is het belangrijk om symbolen te kunnen lezen die worden gebruikt om deze bewerkingen aan te duiden. Het symbool dat wordt gebruikt voor de vereniging van de twee sets EEN en B is gegeven door EEN B . Een manier om te onthouden dat het symbool ∪ naar unie verwijst, is door de gelijkenis op te merken met een hoofdletter U, wat een afkorting is voor het woord unie. Wees voorzichtig, want het symbool voor vereniging lijkt erg op het symbool voor kruispunt . De ene wordt van de andere verkregen door een verticale flip.

Raadpleeg het bovenstaande voorbeeld om deze notatie in actie te zien. Hier hadden we de sets EEN = {1, 2, 3, 4, 5} en B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Dus we zouden de verzamelingsvergelijking schrijven EEN B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.

Unie met de lege verzameling

Eén basisidentiteit waarbij de unie betrokken is, laat ons zien wat er gebeurt als we de unie van een willekeurige verzameling nemen met de lege verzameling, aangeduid met #8709. De lege verzameling is de verzameling zonder elementen. Dus dit toevoegen aan een andere set heeft geen effect. Met andere woorden, de vereniging van een set met de lege set geeft ons de oorspronkelijke set terug

Deze identiteit wordt nog compacter door het gebruik van onze notatie. We hebben de identiteit: EEN ∅ = EEN .

Unie met de universele set

Voor het andere uiterste, wat gebeurt er als we de? vereniging van een set met de universele set? Aangezien de universele verzameling elk element bevat, kunnen we hier niets anders aan toevoegen. Dus de unie of een set met de universele set is de universele set.

Nogmaals, onze notatie helpt ons om deze identiteit in een compacter formaat uit te drukken. Voor elke set EEN en de universele set IN , EEN IN = IN .

Andere identiteiten waarbij de Unie betrokken is

Er zijn veel meer vaste identiteiten die het gebruik van de vakbondsoperatie met zich meebrengen. Natuurlijk is het altijd goed om oefening gebruik van de taal van de verzamelingenleer. Een paar van de belangrijkste worden hieronder vermeld. Voor alle sets EEN , en B en D wij hebben:

• Reflexieve eigenschap: EEN EEN = EEN
• Gemeenschappelijk eigendom: EEN B = B EEN
• Associatief eigendom: ( EEN B ) D = EEN ( B D )
• Wet van DeMorgan I: ( EEN B )^C= EEN ^C B ^C
• Wet van DeMorgan II: ( EEN B )^C= EEN ^C B ^C