Wat is het snijpunt van twee sets?

Stel theorie

Het gearceerde gebied vertegenwoordigt het snijpunt van de twee sets A en B. C.K.Taylor

Bij het omgaan met verzamelingentheorie , zijn er een aantal bewerkingen om van oude nieuwe sets te maken. Een van de meest voorkomende verzamelingsbewerkingen wordt de kruising genoemd. Eenvoudig gezegd, het snijpunt van twee verzamelingen EEN en B is de verzameling van alle elementen die beide EEN en B gemeenschappelijk hebben.

We zullen kijken naar details over het snijpunt in de verzamelingenleer. Zoals we zullen zien, is het sleutelwoord hier het woord 'en'.

Een voorbeeld

Voor een voorbeeld van hoe het snijpunt van twee verzamelingen a . vormt nieuwe set , laten we eens kijken naar de sets EEN = {1, 2, 3, 4, 5} en B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Om het snijpunt van deze twee verzamelingen te vinden, moeten we uitzoeken welke elementen ze gemeen hebben. De getallen 3, 4, 5 zijn elementen van beide verzamelingen, dus de snijpunten van EEN en B is {3. 4. 5].

Notatie voor kruispunt

Naast het begrijpen van de concepten met betrekking tot verzamelingenleerbewerkingen, is het belangrijk om symbolen te kunnen lezen die worden gebruikt om deze bewerkingen aan te duiden. Het symbool voor snijpunt wordt soms vervangen door het woord en tussen twee sets. Dit woord suggereert de compactere notatie voor een kruising die doorgaans wordt gebruikt.

Het symbool dat wordt gebruikt voor het snijpunt van de twee verzamelingen EEN en B is gegeven door EEN B . Een manier om te onthouden dat dit symbool ∩ naar kruising verwijst, is door de gelijkenis op te merken met een hoofdletter A, wat een afkorting is voor het woord 'en'.

Raadpleeg het bovenstaande voorbeeld om deze notatie in actie te zien. Hier hadden we de sets EEN = {1, 2, 3, 4, 5} en B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Dus we zouden de verzamelingsvergelijking schrijven EEN B = {3, 4, 5}.

Kruising met de lege verzameling

Eén basisidentiteit waarbij het snijpunt betrokken is, laat ons zien wat er gebeurt als we het snijpunt van een willekeurige verzameling nemen met de lege verzameling, aangeduid met #8709. De lege verzameling is de verzameling zonder elementen. Als er geen elementen zijn in ten minste één van de verzamelingen waarvan we het snijpunt proberen te vinden, dan hebben de twee verzamelingen geen gemeenschappelijke elementen. Met andere woorden, het snijpunt van een verzameling met de lege verzameling zal ons de lege verzameling geven.

Deze identiteit wordt nog compacter door het gebruik van onze notatie. We hebben de identiteit: EEN ∩ ∅ = .

Kruising met de universele set

Wat gebeurt er aan de andere kant als we het snijpunt van een verzameling met de universele verzameling onderzoeken? gelijk aan hoe het woord universum wordt in de astronomie gebruikt om alles te betekenen, de universele verzameling bevat elk element. Hieruit volgt dat elk element van onze verzameling ook een element is van de universele verzameling. Dus het snijpunt van elke verzameling met de universele verzameling is de verzameling waarmee we zijn begonnen.

Opnieuw komt onze notatie te hulp om deze identiteit beknopter uit te drukken. Voor elke set EEN en de universele set IN , EEN IN = EEN .

Andere identiteiten met betrekking tot de kruising

Er zijn nog veel meer vaste vergelijkingen waarbij gebruik wordt gemaakt van de snijpuntbewerking. Natuurlijk is het altijd goed om oefening gebruik van de taal van de verzamelingenleer. Voor alle sets EEN , en B en D wij hebben:

• Reflexieve eigenschap: EEN EEN = EEN
• Gemeenschappelijk eigendom: EEN B = B EEN
• Associatief eigendom : ( EEN B ) D = EEN ( B D )
• Distributieve eigenschap: ( EEN B ) D = ( EEN D )∪ ( B D )
• Wet van DeMorgan I: ( EEN B )^C= EEN ^C B ^C
• Wet van DeMorgan II: ( EEN B )^C= EEN ^C B ^C