Vrijheidsgraden in statistiek en wiskunde

Monty Rakusen / Getty Images

In de statistiek worden de vrijheidsgraden gebruikt om het aantal onafhankelijke grootheden te definiëren dat aan een statistische verdeling kan worden toegewezen. Dit getal verwijst meestal naar een positief geheel getal dat aangeeft dat er geen beperkingen zijn op het vermogen van een persoon om ontbrekende factoren uit statistische problemen te berekenen.

Vrijheidsgraden fungeren als variabelen in de uiteindelijke berekening van een statistiek en worden gebruikt om de uitkomst van verschillende scenario's in een systeem te bepalen, en in wiskunde definiëren vrijheidsgraden het aantal dimensies in een domein dat nodig is om de volledige vector .

Om het concept van een vrijheidsgraad te illustreren, zullen we kijken naar een basisberekening met betrekking tot het steekproefgemiddelde, en om het gemiddelde van een lijst met gegevens te vinden, voegen we alle gegevens toe en delen door het totale aantal waarden.

Een illustratie met een voorbeeldgemiddelde

Stel voor een moment dat we weten dat de gemeen van een dataset 25 is en dat de waarden in deze set 20, 10, 50 en één onbekend getal zijn. De formule voor een steekproefgemiddelde geeft ons de vergelijking (20 + 10 + 50 + x)/4 = 25 , waar x duidt het onbekende aan, met behulp van enkele basis algebra , kan men dan bepalen dat het ontbrekende nummer, x , is gelijk aan 20.

Laten we dit scenario iets aanpassen. Opnieuw veronderstellen we dat we weten dat het gemiddelde van een dataset 25 is. Deze keer zijn de waarden in de dataset echter 20, 10 en twee onbekende waarden. Deze onbekenden kunnen verschillend zijn, dus we gebruiken er twee verschillende variabelen , x , en ja, dit aan te duiden. De resulterende vergelijking is (20 + 10 + x + y)/4 = 25 . Met wat algebra verkrijgen we Y = 70- x . De formule is in deze vorm geschreven om te laten zien dat zodra we een waarde kiezen voor x , de waarde voor Y wordt volledig bepaald. We hebben één keuze te maken, en dit laat zien dat die er is graad van vrijheid .

Nu kijken we naar een steekproefomvang van honderd. Als we weten dat het gemiddelde van deze voorbeeldgegevens 20 is, maar de waarden van geen van de gegevens kennen, dan zijn er 99 vrijheidsgraden. Alle waarden moeten optellen tot een totaal van 20 x 100 = 2000. Als we de waarden van 99 elementen in de dataset hebben, dan is de laatste bepaald.

Student t-score en Chi-kwadraatverdeling

Vrijheidsgraden spelen een belangrijke rol bij het gebruik van de Leerling t -scoretabel . Er zijn er eigenlijk meerdere t-score distributies. We maken onderscheid tussen deze verdelingen door gebruik te maken van vrijheidsgraden.

Hier de kansverdeling die we gebruiken, hangt af van de grootte van onze steekproef. Als onze steekproefomvang is: n , dan is het aantal vrijheidsgraden n -1. Een steekproefomvang van 22 zou bijvoorbeeld vereisen dat we de rij van de gebruiken t -scoretabel met 21 vrijheidsgraden.

Het gebruik van een chikwadraatverdeling vereist ook het gebruik van graden van vrijheid. Hier, op dezelfde manier als bij de t-score distributie bepaalt de steekproefomvang welke distributie moet worden gebruikt. Als de steekproefomvang is: n , dan zijn er n-1 graden van vrijheid.

Standaarddeviatie en geavanceerde technieken

Een andere plaats waar vrijheidsgraden verschijnen, is in de formule voor de standaarddeviatie. Dit voorval is niet zo openlijk, maar we kunnen het zien als we weten waar we moeten kijken. Tot een standaarddeviatie vinden we zoeken de 'gemiddelde' afwijking van het gemiddelde. Nadat we echter het gemiddelde van elke gegevenswaarde hebben afgetrokken en de verschillen hebben gekwadrateerd, delen we uiteindelijk door: n-1 liever dan n zoals we zouden verwachten.

De aanwezigheid van de n-1 komt van het aantal vrijheidsgraden. sinds de n gegevenswaarden en het steekproefgemiddelde worden gebruikt in de formule, zijn er: n-1 graden van vrijheid.

Meer geavanceerde statistische technieken gebruiken meer gecompliceerde manieren om de vrijheidsgraden te tellen. Bij het berekenen van de teststatistiek voor twee gemiddelden met onafhankelijke steekproeven van n ₁en n _tweeelementen heeft het aantal vrijheidsgraden een nogal ingewikkelde formule. Het kan worden geschat met behulp van de kleinere van n₁-1 en n_twee-1

Een ander voorbeeld van een andere manier om de vrijheidsgraden te tellen, komt met een F testen. bij het uitvoeren van een F test die we hebben k monsters elk van grootte: n —de vrijheidsgraden in de teller is k -1 en in de noemer is k ( n -1)