Vrijheidsgraden voor onafhankelijkheid van variabelen in tweerichtingstabel

Om te zien waarom ( r - 1)( c - 1) het juiste getal is, zullen we deze situatie nader onderzoeken. Stel dat we de marginale totalen kennen voor elk van de niveaus van onze categorische variabelen. Met andere woorden, we kennen het totaal voor elke rij en het totaal voor elke kolom. Voor de eerste rij zijn er c kolommen in onze tabel, dus er zijn c cellen. Als we eenmaal de waarden van al deze cellen op één na kennen, is het, omdat we het totaal van alle cellen kennen, een eenvoudig algebraprobleem om de waarde van de resterende cel te bepalen. Als we deze cellen van onze tabel zouden invullen, zouden we kunnen invoeren c - 1 van hen vrij, maar dan wordt de resterende cel bepaald door het totaal van de rij. Zo zijn er c - 1 vrijheidsgraden voor de eerste rij.

We gaan op deze manier verder voor de volgende rij, en die zijn er weer c - 1 vrijheidsgraden. Dit proces gaat door totdat we bij de voorlaatste rij komen. Elk van de rijen behalve de laatste draagt ​​bij c - 1 vrijheidsgraden op het totaal. Tegen de tijd dat we alles behalve de laatste rij hebben, kunnen we, omdat we de kolomsom kennen, alle vermeldingen van de laatste rij bepalen. Dit geeft ons r - 1 rij met c - 1 vrijheidsgraden in elk van deze, voor een totaal van ( r - 1)( c - 1) vrijheidsgraden.

Voorbeeld

We zien dit met het volgende voorbeeld. Stel dat we een tweerichtingstabel hebben met twee categorische variabelen. De ene variabele heeft drie niveaus en de andere twee. Stel verder dat we de rij- en kolomtotalen voor deze tabel kennen:

De formule voorspelt dat er (3-1)(2-1) = 2 vrijheidsgraden zijn. We zien dit als volgt. Stel dat we de cel linksboven invullen met het getal 80. Dit bepaalt automatisch de hele eerste rij met vermeldingen:

Als we nu weten dat het eerste item in de tweede rij 50 is, dan is de rest van de tabel ingevuld, omdat we het totaal van elke rij en kolom kennen:

De tabel is volledig ingevuld, maar we hadden slechts twee vrije keuzes. Nadat deze waarden bekend waren, werd de rest van de tabel volledig bepaald.

Hoewel we doorgaans niet hoeven te weten waarom er zoveel vrijheidsgraden zijn, is het goed om te weten dat we het concept van vrijheidsgraden eigenlijk alleen maar toepassen op een nieuwe situatie.