Inleiding tot vectorwiskunde

Tatiana Kolesnikova / Getty Images

Dit is een basis, maar hopelijk redelijk uitgebreide inleiding tot het werken met vectoren. Vectoren manifesteren zich op een groot aantal verschillende manieren, van verplaatsing, snelheid en versnelling tot krachten en velden. Dit artikel is gewijd aan de wiskunde van vectoren; hun toepassing in specifieke situaties komt elders aan de orde.

Vectoren en Scalaren

EEN vectorgrootheid , of vector , geeft niet alleen informatie over de grootte, maar ook over de richting van de hoeveelheid. Bij het geven van een routebeschrijving naar een huis is het niet voldoende om te zeggen dat het 10 mijl verderop is, maar de richting van die 10 mijl moet ook worden opgegeven om de informatie nuttig te maken. Variabelen die vectoren zijn, worden aangegeven met een vetgedrukte variabele, hoewel het gebruikelijk is om vectoren met kleine pijlen boven de variabele te zien.

Net zoals we niet zeggen dat het andere huis 10 mijl verderop is, is de grootte van een vector altijd een positief getal, of liever de absolute waarde van de 'lengte' van de vector (hoewel de hoeveelheid geen lengte hoeft te zijn, het kan een snelheid, versnelling, kracht, enz. zijn.) Een negatief voor een vector duidt niet op een verandering in de grootte, maar eerder in de richting van de vector.

In de bovenstaande voorbeelden is afstand de scalaire hoeveelheid (10 mijl) maar verplaatsing is de vectorhoeveelheid (10 mijl naar het noordoosten). Evenzo is snelheid een scalaire grootheid, terwijl snelheid a . is vector hoeveelheid.

EEN eenheid Vector is een vector met een grootte van één. Een vector die een eenheidsvector vertegenwoordigt, is meestal ook vetgedrukt, hoewel deze een karaat heeft ( ^ ) erboven om het eenheidskarakter van de variabele aan te geven. De eenheidsvector x , wanneer geschreven met een karaat, wordt over het algemeen gelezen als 'x-hat' omdat de karaat op de variabele lijkt op een hoed.

De nul vector , of null vector , is een vector met een grootte van nul. Het is geschreven als 0 in dit artikel.

Vectorcomponenten

Vectoren zijn over het algemeen georiënteerd op een coördinatensysteem, waarvan het tweedimensionale cartesiaanse vlak de meest populaire is. Het Cartesiaanse vlak heeft een horizontale as met het label x en een verticale as met het label y. Sommige geavanceerde toepassingen van vectoren in de natuurkunde vereisen het gebruik van een driedimensionale ruimte, waarin de assen x, y en z zijn. Dit artikel gaat voornamelijk over het tweedimensionale systeem, hoewel de concepten met enige zorg zonder al te veel moeite kunnen worden uitgebreid tot drie dimensies.

Vectoren in coördinatensystemen met meerdere dimensies kunnen worden opgesplitst in hun componentvectoren . In het tweedimensionale geval resulteert dit in a x-component en een y-component . Bij het opsplitsen van een vector in zijn componenten, is de vector een som van de componenten:

F = F_x + F_Y

theta F_xF_YF

F_x / F = cos theta en F_Y / F = zonder theta wat ons geeft
F_x = F omdat theta en F_Y = F zonder theta

Merk op dat de getallen hier de grootten van de vectoren zijn. We kennen de richting van de componenten, maar we proberen hun grootte te vinden, dus we strippen de richtingsinformatie en voeren deze scalaire berekeningen uit om de grootte te achterhalen. Verdere toepassing van trigonometrie kan worden gebruikt om andere relaties (zoals de raaklijn) tussen sommige van deze grootheden te vinden, maar ik denk dat dit voorlopig genoeg is.

Jarenlang is de enige wiskunde die een student leert scalaire wiskunde. Als je 5 mijl naar het noorden en 5 mijl naar het oosten reist, heb je 10 mijl gereisd. Het toevoegen van scalaire hoeveelheden negeert alle informatie over de richtingen.

Vectoren worden enigszins anders gemanipuleerd. Bij het manipuleren moet altijd rekening worden gehouden met de richting.

Componenten toevoegen

Als je twee vectoren optelt, is het alsof je de vectoren hebt genomen en ze van begin tot eind hebt geplaatst en een nieuwe vector hebt gemaakt die van het beginpunt naar het eindpunt loopt. Als de vectoren dezelfde richting hebben, dan betekent dit gewoon het optellen van de magnitudes, maar als ze verschillende richtingen hebben, kan het complexer worden.

U voegt vectoren toe door ze op te splitsen in hun componenten en vervolgens de componenten toe te voegen, zoals hieronder:

a + b = c
a_x + a_Y + b_x + b_Y =
( a_x + b_x ) + ( a_Y + b_Y ) = c_x + c_Y

De twee x-componenten resulteren in de x-component van de nieuwe variabele, terwijl de twee y-componenten resulteren in de y-component van de nieuwe variabele.

Eigenschappen van vectortoevoeging

De volgorde waarin u de vectoren toevoegt, maakt niet uit. In feite zijn verschillende eigenschappen van scalaire optelling geldig voor vectoroptelling:

Identiteitseigenschap van vectortoevoeging
a + 0 = a
Inverse eigenschap van vectortoevoeging
a + - a = a - a = 0
Reflecterende eigenschap van vectortoevoeging
a = a
Gemeenschappelijk eigendom van vectortoevoeging
a + b = b + a
Associatieve eigenschap van vectortoevoeging
( a + b ) + c = a + ( b + c )
Transitieve eigenschap van vectortoevoeging
Als a = b en c = b , dan a = c

De eenvoudigste bewerking die op een vector kan worden uitgevoerd, is deze te vermenigvuldigen met een scalaire waarde. Deze scalaire vermenigvuldiging verandert de grootte van de vector. Met andere woorden, het maakt de vector langer of korter.

Als je vermenigvuldigt met een negatieve scalair, wijst de resulterende vector in de tegenovergestelde richting.

De scalair product van twee vectoren is een manier om ze met elkaar te vermenigvuldigen om een ​​scalaire grootheid te verkrijgen. Dit wordt geschreven als een vermenigvuldiging van de twee vectoren, met een punt in het midden die de vermenigvuldiging voorstelt. Als zodanig wordt het vaak de punt product van twee vectoren.

Om het puntproduct van twee vectoren te berekenen, beschouw je de hoek ertussen. Met andere woorden, als ze hetzelfde startpunt zouden delen, wat zou dan de hoekmeting zijn ( theta ) tussen hen. Het puntproduct wordt gedefinieerd als:

a * b = ab omdat theta

ab abba

In gevallen waarin de vectoren loodrecht staan ​​(of theta = 90 graden), cos theta nul zal zijn. Daarom, het puntproduct van loodrechte vectoren is altijd nul . Wanneer de vectoren zijn parallel (of theta = 0 graden), cos theta is 1, dus het scalaire product is gewoon het product van de grootheden.

Deze leuke kleine feiten kunnen worden gebruikt om te bewijzen dat, als je de componenten kent, je de behoefte aan theta volledig kunt elimineren met de (tweedimensionale) vergelijking:

a * b = a_xb_x + a_Yb_Y

De vectorproduct is geschreven in de vorm a x b , en wordt meestal de . genoemd kruisproduct van twee vectoren. In dit geval vermenigvuldigen we de vectoren en in plaats van een scalaire hoeveelheid te krijgen, krijgen we een vectorhoeveelheid. Dit is de lastigste van de vectorberekeningen waar we mee te maken zullen hebben, zoals het is niet commutatief en omvat het gebruik van de gevreesde rechterhand regel , waar ik binnenkort op terugkom.

De omvang berekenen

Nogmaals, we beschouwen twee vectoren getekend vanuit hetzelfde punt, met de hoek theta tussen hen. We nemen altijd de kleinste hoek, dus theta zal altijd in een bereik van 0 tot 180 liggen en het resultaat zal daarom nooit negatief zijn. De grootte van de resulterende vector wordt als volgt bepaald:

Als c = a x b , dan c = ab zonder theta

Het vectorproduct van parallelle (of antiparallelle) vectoren is altijd nul

Richting van de vector

Het vectorproduct staat loodrecht op het vlak dat is gemaakt op basis van die twee vectoren. Als je je het vlak voorstelt als plat op een tafel, wordt de vraag of de resulterende vector omhoog gaat (ons 'uit' de tafel, vanuit ons perspectief) of omlaag (of 'in' de tafel, vanuit ons perspectief).

De gevreesde rechterhandregel

Om dit te achterhalen, moet u toepassen wat de wordt genoemd rechterhand regel . Toen ik natuurkunde studeerde op school, ik verafschuwd de rechterhandregel. Elke keer dat ik het gebruikte, moest ik het boek tevoorschijn halen om op te zoeken hoe het werkte. Hopelijk is mijn beschrijving een beetje intuïtiever dan degene die ik heb leren kennen.

Als je hebt a x b je plaatst je rechterhand over de lengte van b zodat uw vingers (behalve de duim) kunnen buigen om mee te wijzen a . Met andere woorden, je probeert een soort van hoek te maken theta tussen de palm en de vier vingers van je rechterhand. De duim steekt in dit geval recht omhoog (of uit het scherm, als je het tegen de computer probeert te doen). Je knokkels zullen ongeveer op één lijn liggen met het startpunt van de twee vectoren. Precisie is niet essentieel, maar ik wil dat je het idee krijgt, aangezien ik hier geen foto van heb.

Als u echter overweegt b x a , dan doe je het tegenovergestelde. Je zult je rechterhand meegeven a en wijs met je vingers b . Als je dit op het computerscherm probeert te doen, zul je merken dat het onmogelijk is, dus gebruik je fantasie. U zult zien dat in dit geval uw fantasierijke duim naar het computerscherm wijst. Dat is de richting van de resulterende vector.

De rechterhandregel geeft de volgende relatie weer:

a x b = - b x a

cabc

c_x = a_Yb_Met - a_Metb_Y
c_Y = a_Metb_x - a_xb_Met
c_Met = a_xb_Y - a_Yb_x

ab c_xc_Y c

Laatste woorden

Op hogere niveaus kunnen vectoren extreem complex worden om mee te werken. Hele cursussen op de universiteit, zoals lineaire algebra, besteden veel tijd aan matrices (die ik in deze inleiding vriendelijk heb vermeden), vectoren en vectorruimten . Dat detailniveau valt buiten het bestek van dit artikel, maar dit zou de basis moeten vormen die nodig is voor de meeste vectormanipulatie die in het natuurkundelokaal wordt uitgevoerd. Als je van plan bent om natuurkunde dieper te bestuderen, maak je tijdens je opleiding kennis met de meer complexe vectorconcepten.