'Als en alleen als' gebruiken in wiskunde

Courtney Taylor

Bij het lezen over statistiek en wiskunde is een zin die regelmatig verschijnt als en slechts als. Deze zin komt vooral voor in uitspraken van wiskundige stellingen of bewijzen. Maar wat houdt deze uitspraak precies in?

Wat betekent als en alleen als in de wiskunde?

Om te begrijpen of en slechts als, moeten we eerst weten wat wordt bedoeld met een voorwaardelijke verklaring. Een voorwaardelijke uitspraak is een stelling die is gevormd uit twee andere stellingen, die we zullen aanduiden met P en Q. Om een ​​voorwaardelijke stelling te vormen, zouden we kunnen zeggen dat als P dan Q is.

De volgende zijn voorbeelden van dit soort uitspraken:

• Als het buiten regent, dan neem ik mijn paraplu mee op mijn wandeling.
• Als je hard studeert, verdien je een A.
• Als n is deelbaar door 4, dan n is deelbaar door 2.

Converseren en voorwaarden

Drie andere verklaringen hebben betrekking op een voorwaardelijke verklaring. Deze worden de converse, inverse, en de contrapositieve . We vormen deze uitspraken door de volgorde van P en Q te veranderen van de oorspronkelijke voorwaardelijke en het woord niet voor het inverse en contrapositief in te voegen.

We hoeven hier alleen het omgekeerde te beschouwen. Deze uitspraak komt uit het origineel door te zeggen als Q dan P. Stel dat we beginnen met de voorwaarde als het buiten regent, dan neem ik mijn paraplu mee op mijn wandeling. Het omgekeerde van deze uitspraak is dat als ik mijn paraplu meeneem op mijn wandeling, het buiten regent.

We hoeven alleen maar naar dit voorbeeld te kijken om te beseffen dat de oorspronkelijke conditionele logisch niet hetzelfde is als het omgekeerde. De verwarring van deze twee verklaringsvormen staat bekend als a omgekeerde fout . Je zou een paraplu mee kunnen nemen tijdens een wandeling, ook al regent het buiten misschien niet.

Voor een ander voorbeeld beschouwen we de voorwaardelijke Als een getal deelbaar is door 4, dan is het deelbaar door 2. Deze bewering is duidelijk waar. Het omgekeerde van deze bewering. Als een getal deelbaar is door 2, dan is het deelbaar door 4 onwaar. We hoeven alleen maar naar een getal als 6 te kijken. Hoewel 2 dit getal deelt, doet 4 dat niet. Hoewel de oorspronkelijke bewering waar is, is het omgekeerde dat niet.

Biconditioneel

Dit brengt ons bij een bivoorwaardelijke verklaring, ook wel een 'als en slechts als'-verklaring genoemd. Bepaalde voorwaardelijke uitspraken hebben ook converses die waar zijn. In dit geval kunnen we een zogenaamde bivoorwaardelijke verklaring vormen. Een bivoorwaardelijke verklaring heeft de vorm:

Als P dan Q, en als Q dan P.

Sinds dit bouw is enigszins onhandig, vooral wanneer P en Q hun eigen logische uitspraken zijn, vereenvoudigen we de uitspraak van een biconditional door de uitdrukking 'als en alleen als' te gebruiken. In plaats van te zeggen 'als P dan Q, en als Q dan P' zeggen we in plaats daarvan 'P als en slechts als Q'. Deze constructie elimineert enige redundantie.

Statistiek voorbeeld

Voor een voorbeeld van de zin als en alleen als dat statistieken betreft, hoeft u niet verder te zoeken dan een feit met betrekking tot de standaarddeviatie van de steekproef. De steekproefstandaarddeviatie van een dataset is gelijk aan nul als en slechts als alle gegevenswaarden identiek zijn.

We splitsen deze bivoorwaardelijke verklaring in een voorwaardelijke en zijn omgekeerde. Dan zien we dat deze verklaring het volgende betekent:

• Als de standaarddeviatie nul is, zijn alle gegevenswaarden identiek.
• Als alle gegevenswaarden identiek zijn, is de standaarddeviatie gelijk aan nul.

Bewijs van Biconditional

Als we een biconditional proberen te bewijzen, dan splitsen we het meestal op. Dit maakt ons bewijs uit twee delen. Een deel dat we bewijzen is als P dan Q. Het andere deel van het bewijs dat we nodig hebben is als Q dan P.

Noodzakelijke en voldoende voorwaarden

Biconditionele uitspraken hebben betrekking op voorwaarden die zowel noodzakelijk als voldoende zijn. Overweeg de uitspraak als vandaag is Pasen , dan is het morgen maandag. Vandaag Pasen zijn is voldoende om morgen maandag te zijn, maar het is niet nodig. Vandaag kan elke andere zondag zijn dan Pasen, en morgen zou het nog steeds maandag zijn.

Afkorting

De uitdrukking als en slechts als wordt vaak genoeg gebruikt in wiskundig schrijven dat het zijn eigen afkorting heeft. Soms wordt de bivoorwaardelijke in de uitspraak van de zin als en slechts als afgekort tot gewoon iff. Dus de uitspraak P als en slechts als Q P wordt als Q.