Wanneer is de standaarddeviatie gelijk aan nul?

Maureen P Sullivan / Getty Images

De voorbeeld standaarddeviatie is een beschrijvende statistiek die de spreiding van een kwantitatieve dataset meet. Dit getal kan elk niet-negatief reëel getal zijn. Aangezien nul een niet-negatief is echt nummer , lijkt het de moeite waard om te vragen: wanneer zal de standaarddeviatie van de steekproef gelijk zijn aan nul? Dit gebeurt in het zeer speciale en hoogst ongebruikelijke geval wanneer al onze gegevenswaarden precies hetzelfde zijn. We zullen de redenen onderzoeken.

Beschrijving van de standaarddeviatie

Twee belangrijke vragen die we doorgaans willen beantwoorden over een dataset zijn:

• Wat is het centrum van de dataset?
• Hoe verspreid is de dataset?

Er zijn verschillende metingen, beschrijvende statistiek genaamd, die deze vragen beantwoorden. Bijvoorbeeld het centrum van de gegevens, ook wel bekend als de gemiddeld , kan worden beschreven in termen van het gemiddelde, de mediaan of de modus. Andere statistieken, die minder bekend zijn, kunnen worden gebruikt, zoals de achtervolging of de trimean.

Voor de verspreiding van onze gegevens zouden we het bereik, de interkwartielbereik of de standaarddeviatie. De standaarddeviatie is gekoppeld aan het gemiddelde om de spreiding van onze gegevens te kwantificeren. We kunnen dit nummer dan gebruiken om meerdere datasets te vergelijken. Hoe groter onze standaarddeviatie, hoe groter de spreiding.

Intuïtie

Laten we dus vanuit deze beschrijving bekijken wat het zou betekenen om een ​​standaarddeviatie van nul te hebben. Dit zou erop wijzen dat er helemaal geen spreiding is in onze dataset. Alle individuele gegevenswaarden zouden worden samengevoegd tot één enkele waarde. Aangezien er maar één waarde zou zijn die onze gegevens zouden kunnen hebben, zou deze waarde het gemiddelde van onze steekproef vormen.

In deze situatie, wanneer al onze gegevenswaarden hetzelfde zijn, zou er geen enkele variatie zijn. Intuïtief is het logisch dat de standaarddeviatie van een dergelijke dataset nul zou zijn.

Wiskundig bewijs

De standaarddeviatie van de steekproef wordt gedefinieerd door een formule. Dus elke bewering zoals die hierboven moet worden bewezen met behulp van deze formule. We beginnen met een dataset die past bij de beschrijving hierboven: alle waarden zijn identiek, en er zijn n waarden gelijk aan x .

We berekenen het gemiddelde van deze dataset en zien dat het is

x = ( x + x + . . . + x )/ n = nx / n = x .

Als we nu de individuele afwijkingen van het gemiddelde berekenen, zien we dat al deze afwijkingen nul zijn. Bijgevolg zijn de variantie en ook de standaarddeviatie beide gelijk aan nul.

Noodzakelijk en voldoende

We zien dat als de dataset geen variatie vertoont, de standaarddeviatie nul is. We kunnen vragen of de converseren van deze verklaring is ook waar. Om te zien of dat zo is, gebruiken we opnieuw de formule voor standaarddeviatie. Deze keer stellen we de standaarddeviatie echter gelijk aan nul. We zullen geen aannames doen over onze dataset, maar zullen zien welke instelling s = 0 impliceert

Stel dat de standaarddeviatie van een dataset gelijk is aan nul. Dit zou betekenen dat de steekproefvariantie s ^tweeis ook gelijk aan nul. Het resultaat is de vergelijking:

0 = (1/( n - 1)) ( x _i- x )^twee

We vermenigvuldigen beide zijden van de vergelijking met n - 1 en zie dat de som van de gekwadrateerde afwijkingen gelijk is aan nul. Aangezien we met reële getallen werken, is de enige manier om dit te laten gebeuren, dat elk van de gekwadrateerde afwijkingen gelijk is aan nul. Dit betekent dat voor elke i , de voorwaarde ( x _i- x )^twee= 0.

We nemen nu de vierkantswortel van de bovenstaande vergelijking en zien dat elke afwijking van het gemiddelde gelijk moet zijn aan nul. sinds voor iedereen i ,

x _i- x = 0

Dit betekent dat elke gegevenswaarde gelijk is aan het gemiddelde. Dit resultaat, samen met het bovenstaande, stelt ons in staat om te zeggen dat de steekproefstandaarddeviatie van een dataset nul is als en slechts als alle waarden identiek zijn.