Wat zijn de omgekeerde, contrapositieve en inverse?

Corbis/VCG via Getty Images / Getty Images

Voorwaardelijke uitspraken komen overal voor. In de wiskunde of elders duurt het niet lang om iets van de vorm If . tegen te komen P dan Q . Voorwaardelijke uitspraken zijn inderdaad belangrijk. Wat ook belangrijk is, zijn uitspraken die gerelateerd zijn aan de oorspronkelijke voorwaardelijke instructie door de positie van te veranderen P , Q en de ontkenning van een verklaring. Beginnend met een originele verklaring, eindigen we met drie nieuwe voorwaardelijke verklaringen die de omgekeerde, de contrapositieve en de inverse .

Negatie

Voordat we het omgekeerde, contrapositieve en inverse van een voorwaardelijke verklaring definiëren, moeten we het onderwerp ontkenning onderzoeken. Elke verklaring in logica is waar of onwaar. De ontkenning van een verklaring houdt eenvoudigweg in dat het woord niet in het juiste deel van de verklaring wordt ingevoegd. De toevoeging van het woord niet wordt gedaan zodat het de waarheidsstatus van de verklaring verandert.

Het helpt om naar een voorbeeld te kijken. De verklaring The rechthoekige driehoek is gelijkzijdig heeft negatie De rechthoekige driehoek is niet gelijkzijdig. De ontkenning van 10 is een even getal, de stelling 10 is geen even getal. Voor dit laatste voorbeeld kunnen we natuurlijk de definitie van een oneven getal gebruiken en in plaats daarvan zeggen dat 10 een oneven getal is. We merken op dat de waarheid van een uitspraak het tegenovergestelde is van die van de ontkenning.

We zullen dit idee in een meer abstracte setting onderzoeken. Wanneer de verklaring P is waar, de verklaring niet P is fout. Evenzo, als P is onwaar, de ontkenning ervan niet P is waar. Ontkenningen worden gewoonlijk aangeduid met een tilde ~. Dus in plaats van niet te schrijven P we kunnen schrijven ~ P .

Converseren, contrapositief en omgekeerd

Nu kunnen we het omgekeerde, het contrapositieve en het omgekeerde van een voorwaardelijke verklaring definiëren. We beginnen met de voorwaardelijke verklaring If P dan Q .

• Het omgekeerde van de voorwaardelijke verklaring is If Q dan P .
• Het contrapositief van de voorwaardelijke verklaring is Indien niet Q dan niet P .
• De inverse van de voorwaardelijke verklaring is Indien niet P dan niet Q .

We zullen zien hoe deze uitspraken werken met een voorbeeld. Stel we beginnen met de voorwaardelijke stelling Als het vannacht heeft geregend, dan is het trottoir nat.

• Het omgekeerde van de voorwaardelijke verklaring is: Als het trottoir nat is, dan heeft het vannacht geregend.
• Het contrapositief van de voorwaardelijke stelling is Als het trottoir niet nat is, dan heeft het vannacht niet geregend.
• Het omgekeerde van de voorwaardelijke stelling is: Als het vannacht niet heeft geregend, dan is het trottoir niet nat.

Logische gelijkwaardigheid

We kunnen ons afvragen waarom het belangrijk is om deze andere voorwaardelijke uitspraken te vormen vanuit onze oorspronkelijke. Een zorgvuldige blik op het bovenstaande voorbeeld onthult iets. Stel dat de oorspronkelijke uitspraak Als het vannacht heeft geregend, dan is het trottoir nat. Welke van de andere beweringen moeten ook waar zijn?

• Het omgekeerde Als het trottoir nat is, dan is het niet per se waar dat het vannacht heeft geregend. Het trottoir kan om andere redenen nat zijn.
• Het omgekeerde Als het vannacht niet heeft geregend, dan is het trottoir niet nat hoeft niet per se waar te zijn. Nogmaals, alleen omdat het niet regende, wil nog niet zeggen dat het trottoir niet nat is.
• Het contrapositief Als het trottoir niet nat is, dan heeft het vannacht niet geregend is een waar statement.

Wat we uit dit voorbeeld zien (en wat wiskundig kan worden bewezen) is dat een voorwaardelijke uitspraak dezelfde waarheidswaarde heeft als zijn contrapositieve. We zeggen dat deze twee uitspraken logisch equivalent zijn. We zien ook dat een voorwaardelijke verklaring niet logisch equivalent is aan zijn omgekeerde en omgekeerde.

Aangezien een voorwaardelijke verklaring en zijn contrapositief logisch equivalent zijn, kunnen we dit in ons voordeel gebruiken bij het bewijzen van wiskundige stellingen. In plaats van de waarheid van een voorwaardelijke verklaring direct te bewijzen, kunnen we in plaats daarvan de indirecte bewijsstrategie gebruiken om de waarheid van de contrapositie van die verklaring te bewijzen. Contrapositieve bewijzen werken omdat als de contrapositieve waar is, vanwege logische equivalentie, de oorspronkelijke voorwaardelijke verklaring ook waar is.

Het blijkt dat hoewel de converse en inverse zijn niet logisch equivalent aan de oorspronkelijke voorwaardelijke instructie , zijn ze logisch equivalent aan elkaar. Hier is een makkelijke verklaring voor. We beginnen met de voorwaardelijke verklaring If Q dan P . Het contrapositieve van deze verklaring is Indien niet P dan niet Q . Aangezien de inverse de contrapositieve van de omgekeerde is, zijn de omgekeerde en inverse logisch equivalent.