Standaardnormale verdeling in wiskundige problemen

Standaard normale afwijking.

Met dank aan C.K.Taylor (auteur)

De standaard normale verdeling , die beter bekend staat als de bel curve, verschijnt op verschillende plaatsen. Verschillende gegevensbronnen zijn normaal verdeeld. Hierdoor kan onze kennis over de standaard normale verdeling in een aantal toepassingen worden gebruikt. Maar we hoeven niet voor elke toepassing met een andere normaalverdeling te werken. In plaats daarvan werken we met een normale verdeling met een gemiddelde van 0 en een standaarddeviatie van 1. We zullen enkele toepassingen van deze verdeling bekijken die allemaal verband houden met een bepaald probleem.

Voorbeeld

Stel dat ons wordt verteld dat de lengte van volwassen mannen in een bepaalde regio van de wereld normaal verdeeld is met een gemiddelde van 70 inch en een standaarddeviatie van 2 inch.

1. Welk deel van de volwassen mannen is ongeveer groter dan 73 inch?
2. Welk deel van de volwassen mannen is tussen de 72 en 73 inch?
3. Welke lengte komt overeen met het punt waarop 20% van alle volwassen mannen groter is dan deze lengte?
4. Welke lengte komt overeen met het punt waarop 20% van alle volwassen mannen kleiner is dan deze lengte?

Oplossingen

Voordat u verder gaat, moet u stoppen en uw werk doornemen. Hieronder volgt een gedetailleerde uitleg van elk van deze problemen:

1. We gebruiken onze Met -score formuleom 73 om te zetten in een gestandaardiseerde score. Hier berekenen we (73 – 70) / 2 = 1,5. Dus de vraag wordt: wat is het gebied onder de standaard normale verdeling voor? Met groter dan 1,5? Ons raadplegen tafel van Met -scores laat ons zien dat 0,933 = 93,3% van de distributie van gegevens kleiner is dan Met = 1,5. Daarom is 100% - 93,3% = 6,7% van de volwassen mannen groter dan 73 inch.
2. Hier zetten we onze hoogtes om naar een gestandaardiseerde Met -score. We hebben gezien dat 73 heeft een z cijfer 1,5. De Met -score van 72 is (72 – 70) / 2 = 1. We zoeken dus de oppervlakte onder de normale verdeling voor 1< Met <1.5. A quick check of the normal distribution table shows that this proportion is 0.933 – 0.841 = 0.092 = 9.2%
3. Hier is de vraag omgekeerd van wat we al hebben overwogen. Nu kijken we omhoog in onze tabel om een ​​te vinden Met -score VAN ^*dat komt overeen met een oppervlakte van 0,200 daarboven. Voor gebruik in onze tabel merken we op dat dit is waar 0.800 hieronder staat. Als we naar de tafel kijken, zien we dat Met ^*= 0,84. We moeten dit nu omzetten Met -score tot een hoogte. Aangezien 0,84 = (x – 70) / 2 betekent dit dat x = 71,68 inch.
4. We kunnen de symmetrie van de normale verdeling gebruiken en ons de moeite besparen om de waarde op te zoeken Met ^*. In plaats van Met ^*= 0,84, we hebben -0,84 = (x – 70)/2. Dus x = 68,32 inch.

Het gebied van het gearceerde gebied links van z in het bovenstaande diagram laat deze problemen zien. Deze vergelijkingen vertegenwoordigen waarschijnlijkheden en hebben tal van toepassingen in statistieken en waarschijnlijkheid.