Wat is de standaard normale verdeling?

Klokkrommen met verschillende gemiddelden en standaarddeviaties hebben dezelfde algemene vorm, maar verschillen in hun middelpunten en spreidingen. (CK Taylor)

klokkrommen verschijnen in de statistieken. Diverse metingen zoals diameters van zaden, lengtes van visvinnen, scores op de SAT en gewichten van individuele vellen van een pak papier vormen allemaal klokkrommen wanneer ze in een grafiek worden weergegeven. De algemene vorm van al deze curven is hetzelfde. Maar al deze curven zijn verschillend omdat het hoogst onwaarschijnlijk is dat ze hetzelfde gemiddelde of dezelfde standaarddeviatie delen. Klokkrommen met grote standaarddeviaties zijn breed en klokkrommen met kleine standaarddeviaties zijn smal. Klokkrommen met grotere gemiddelden zijn meer naar rechts verschoven dan die met kleinere middelen

Een voorbeeld

Laten we, om dit wat concreter te maken, doen alsof we de diameters van 500 maiskorrels meten. Vervolgens registreren, analyseren en grafisch weergeven van die gegevens. Het blijkt dat de dataset de vorm heeft van een klokkromme en een gemiddelde heeft van 1,2 cm met een standaarddeviatie van 0,4 cm. Stel nu dat we hetzelfde doen met 500 bonen, en we vinden dat ze een gemiddelde diameter hebben van 0,8 cm met een standaarddeviatie van 0,04 cm.

De klokkrommen van beide datasets zijn hierboven uitgezet. De rode curve komt overeen met de maïsgegevens en de groene curve komt overeen met de bonengegevens. Zoals we kunnen zien, zijn de middelpunten en spreads van deze twee curven verschillend.

Dit zijn duidelijk twee verschillende klokkrommen. Ze zijn verschillend omdat hun middelen en standaard afwijkingen komen niet overeen. Aangezien alle interessante datasets die we tegenkomen elk positief getal als standaarddeviatie kunnen hebben, en elk getal voor een gemiddelde, krabben we eigenlijk maar aan het oppervlak van een eindeloos aantal klokkrommen. Dat zijn veel bochten en veel te veel om mee om te gaan. Wat is de oplossing?

Een heel speciale klokkromme

Een doel van wiskunde is om dingen waar mogelijk te generaliseren. Soms zijn meerdere individuele problemen bijzondere gevallen van één probleem. Deze situatie met klokkrommen is daar een goede illustratie van. In plaats van een oneindig aantal klokkrommen te behandelen, kunnen we ze allemaal relateren aan een enkele kromme. Deze speciale klokkromme wordt de standaardklokkromme of standaard normale verdeling genoemd.

De standaard klokkromme heeft een gemiddelde van nul en een standaarddeviatie van één. Elke andere klokkromme kan met deze standaard worden vergeleken door middel van aeenvoudige berekening.

Kenmerken van de standaard normale verdeling

Alle eigenschappen van een klokkromme gelden voor de standaard normale verdeling.

• De standaard normale verdeling heeft niet alleen een gemiddelde van nul, maar ook een mediaan en modus van nul. Dit is het midden van de curve.
• De standaard normale verdeling vertoont spiegelsymmetrie bij nul. De helft van de curve is links van nul en de helft van de curve is rechts. Als de curve op nul langs een verticale lijn zou worden gevouwen, zouden beide helften perfect op elkaar passen.
• De standaard normale verdeling volgt de 68-95-99,7 regel, wat ons een gemakkelijke manier geeft om het volgende te schatten:
  • Ongeveer 68% van alle gegevens ligt tussen -1 en 1.
  • Ongeveer 95% van alle gegevens ligt tussen -2 en 2.
  • Ongeveer 99,7% van alle gegevens ligt tussen -3 en 3.

Waarom we om ons geven?

Op dit punt vragen we ons misschien af: waarom zou je je druk maken over een standaard belcurve? Het lijkt misschien een onnodige complicatie, maar de standaard klokkromme zal gunstig zijn als we doorgaan met statistieken.

We zullen zien dat één type probleem in de statistiek vereist dat we gebieden vinden onder delen van een klokkromme die we tegenkomen. De belcurve is geen mooie vorm voor gebieden. Het is niet zoals een rechthoek of rechthoekige driehoek die gemakkelijk hebben oppervlakte formules . Het vinden van gebieden van delen van een klokkromme kan lastig zijn, zo moeilijk zelfs dat we wat calculus zouden moeten gebruiken. Als we onze belcurves niet standaardiseren, zouden we elke keer dat we een gebied willen vinden, een berekening moeten maken. Als we onze curven standaardiseren, is al het werk van het berekenen van oppervlakten voor ons gedaan.