De fundamentele problemen van de filosofie van de wiskunde

De eenvoudigste vragen in de filosofie van de wiskunde wijzen op diepgaande kwesties: waarom is 1+1 = 2? Waarom staat de uitspraak “1+1 = 2” voelen zo heel anders dan een uitspraak als 'het regende gisteren'? Wat bedoelen we trouwens met “1”, “2”, …? Bestaat '1'? Zo ja, hoe en waar? Deze vragen zijn beschikbaar voor filosofen zolang de wiskunde wordt beoefend. Ze zijn, zoals zoveel van de vragen van de filosofie, erg algemeen en erg moeilijk te beantwoorden - om uitspraken als '1+1 = 2' echt te begrijpen, lijkt het erop dat je veel filosofische machines nodig hebt, zoals het geval was met pre-moderne uitstapjes in de filosofie van de wiskunde. Van Plato, tot Leibniz, tot Kant, de antwoorden op de bovenstaande vragen leidden tot en maakten deel uit van een groter systeem: de filosofie van de wiskunde.

De filosofie van de wiskunde: van de eenvoudigste tot de meest complexe vragen

Zowel wiskunde als filosofie zijn in een mum van tijd enorm veranderd. Oude zorgen leiden nog steeds tot onderzoek: filosofen van de wiskunde moeten bepalen wat voor soort bestaan ​​wordt toegekend aan objecten als '1' en 'cirkel', en wat voor soort waarheid aan uitspraken als '1+1 = 2'. Maar de moderne wiskunde stelt filosofen nieuwe en verontrustende vragen, en wijst op objecten waarvan de aard nog moeilijker vast te stellen is. Deze vragen hebben zulke uiteenlopende en schijnbaar onverenigbare antwoorden opgeroepen dat de filosofie van de wiskunde een vreemde sport kan lijken waarin men een kant kiest en deze religieus verdedigt tegen alle anderen. Het is belangrijk op te merken dat er zoveel 'kanten' zijn dat het onmogelijk zou zijn om ze allemaal te behandelen in zo'n korte inleiding als degene die u momenteel aan het lezen bent.

Dit wil helemaal niet zeggen dat de filosofie van de wiskunde aan een grotere veelheid van meningen lijdt dan andere gebieden van de filosofie. Om echter een idee te krijgen van de lastige zaak van het filosofisch denken over wiskunde, is het het beste om de wiskundige problemen achter deze verschillende scholen niet uit het oog te verliezen. Een merkwaardig kenmerk van de filosofie van de wiskunde is de neiging van echte wiskunde, en niet alleen meer filosofie, om voort te komen uit filosofisch onderzoek, en evenzeer voor wiskundige vooruitgang om op diepgaande fundamentele kwesties te stuiten. Wiskundefilosofie aan de ene kant, en metathematica (de studie van de grondslagen van de wiskunde met behulp van wiskundige technieken) aan de andere, zijn vrij direct historisch gerelateerd, en beide zijn steeds belangrijker geworden voor de andere.

David Hilbert: een geweldig project in (de filosofie van) wiskunde

Laten we eens kijken naar een historische boog die veel belangrijke kwesties in de filosofie van de wiskunde raakt, een microkosmos van de wisselwerking tussen zuivere filosofie en zuivere wiskunde: het project van de wiskundige David Hilbert, en in het bijzonder zijn dispuut met een andere invloedrijke denker , L.E.J. Brouwer. Toen de zuivere wiskunde in de 19e eeuw volwassen werd en steeds meer abstracte en niet-intuïtieve noties kreeg, zagen zowel wiskundigen als filosofen duidelijk de noodzaak om de fundamenten van het onderwerp serieus te onderzoeken. Onder hen was Hilbert, een centrale speler in het streven om praktisch de basis te leggen voor een logisch en robuust onderwerp. Hij hoopte de opvatting dat wiskunde een perfecte, rationele wetenschap is, die door zoveel filosofen wordt gedeeld, in iets concreets te vertalen.

Hilberts denken werd ingegeven door wat in zijn tijd zeer moderne ontwikkelingen in de wiskunde waren. In het bijzonder wilde hij een permanent thuis in de wiskunde geven aan de transfiniet . Het werk van Bolzano en Cantor in de verzamelingentheorie (een verzameling die naïef slechts een verzameling dingen is die onder een label is georganiseerd) ging serieus en rigoureus om met het idee van werkelijke oneindigheid; dat wil zeggen dat oneindige objecten een eigen bestaan ​​krijgen. Bijvoorbeeld, de set van allemaal integers {1, 2, ...} als een object op zich is een feitelijk oneindig; aan de andere kant, wanneer men zich louter bezighoudt met willekeurig grote aantallen, heeft men alleen de notie nodig van de potentieel oneindig, die al eeuwen in de ontologische gereedschapskist van wiskundigen zat. Filosofen uit alle tijden hadden dit onderscheid gemaakt - het idee van het werkelijke oneindige zelf was niet nieuw. Desalniettemin schetste Cantor voor het eerst de implicaties ervan in de verzamelingenleer. De sleutel was een eenvoudige manier om het begrip getal te heroverwegen.

Sets, tellen en oneindigheid

Ons alledaagse idee van de grootte van een set reduceert tot eenvoudig tellen: gegeven twee verzamelingen dingen, kunnen we zien of ze dezelfde grootte hebben door de dingen in elke verzameling te tellen en de antwoorden te vergelijken - ik heb drie appels, jij hebt drie bananen. Cantor verdiepte zich in het idee van 'dezelfde grootte hebben als' en abstraheerde het idee van een-op-een correspondentie: sets zijn even groot als elkaar als je hun elementen kunt koppelen - als ik aan elk van je bananen precies één van mijn appels kan toewijzen. Maar met deze eenvoudige abstractie krijgen we gratis een manier om te praten over de 'grootte' van oneindige verzamelingen: we kunnen twee oneindige verzamelingen even groot noemen als we ze in zo'n één-op-één-correspondentie kunnen plaatsen. Het blijkt dat er oneindige verzamelingen zijn die op deze manier niet één-op-één kunnen worden gerelateerd. Zo zijn er bijvoorbeeld ‘meer’ echte getallen (dat wil zeggen, de hele getallenlijn - oneindige decimalen en alles) dan hele getallen, ondanks dat beide verzamelingen oneindig zijn.

Stelling van Cantor: oneindige oneindigheden

Het wordt gekker - Stelling van Cantor vertelt ons in wezen dat er veel van verschillende oneindigheden: in feite oneindig veel, en bij elke oneindige verzameling is er altijd een grotere. Deze nieuwe manier van omgaan met het begrip getal leidde tot de studie van kardinalen, die in zekere zin een radicale uitbreiding van het tellen zijn, waardoor we over allerlei werkelijke oneindigheden kunnen spreken.

Deze vreemde verschijnselen leiden ertoe dat veel vooraanstaande wiskundigen krachtig terugdringen tegen dit nieuwe werkelijke oneindige, zoals Henri Poincaré, die verklaarde dat ‘Er is geen echte oneindigheid, dat zijn de Cantorianen vergeten en zijn ze in tegenspraak geraakt’. Cantors ideeën, hoewel ze nu bijna alomtegenwoordig zijn in de wiskunde, waren aanvankelijk helemaal niet populair.

Maar voor sommigen, waaronder Hilbert, was deze breuk met het eindige een grote overwinning voor de vrije ontwikkeling van de wiskunde. Voor Hilbert was de wiskundige degelijkheid van Cantors oneindig een zaak van groot esthetisch belang, zoals blijkt uit zijn beruchte citaat: “F uit het paradijs, dat Cantor voor ons heeft geschapen, zal niemand ons kunnen verdrijven ”.

Wiskundig realisme versus wiskundig formalisme

Verschillen in perspectieven in de filosofie van de wiskunde kunnen gedeeltelijk worden gekalibreerd door houdingen ten opzichte van deze nieuwe oneindigheden. Hilberts visie zette hem haaks op een andere prominente denker, L.E.J. Brouwer, wat leidde tot een beruchte filosofische rivaliteit.

Hilbert zag wiskunde als een soort spel dat zich uitsluitend bezighield met het manipuleren van symbolen volgens bepaalde regels, een visie die bekend staat als formalisme . Deze opvatting verbiedt niet noodzakelijkerwijs interpretaties van dit ‘formulespel’ als op-die-of-die-manier verbonden met de werkelijkheid, maar in zijn basisvorm vereist het eerder minder toewijding aan problematische wiskundige ‘entiteiten’ dan oudere vormen van wiskundig realisme , zoals platonisme (het uitzicht dateert natuurlijk terug naar Gerecht , die stelt dat wiskundige objecten zoals '1' en 'cirkel' echt bestaan ​​als persistente objecten op een manier die onafhankelijk is van ons en ons begrip ervan). Brouwer begreep wiskunde op een derde manier die radicaal anders was vanuit beide perspectieven.

Een van Hilberts bekendere stellingen, en de kern van een punt van diepe onenigheid tussen hem en Brouwer, is zijn zogenaamde Basisstelling . De fijnere details zijn irrelevant: wat voor filosofen interessant was, en verwerpelijk voor Brouwer, was de manier waarop Hilbert het bewees. De basisstelling van Hilbert is een bestaansstelling – het heeft de vorm ‘ er bestaat minstens één X’. Als wiskundigen de taak krijgen om aan te tonen dat 'er minstens één X is', kunnen ze een van de volgende twee benaderingen volgen: ze moeten ofwel laten zien hoe ze zo'n X kunnen vinden, ofwel aantonen dat het zo is. onmogelijk dat er niet zo'n X is. Bewijzen van de eerste soort worden genoemd constructief , en bewijzen van de tweede soort worden genoemd niet constructief. Hilberts bewijs van de basisstelling was niet-constructief. Brouwer betwistte: hij stichtte en verdedigde hartstochtelijk een benadering van wiskundige filosofie die bekend staat als intuïtionisme .

Intuïtionisme en constructivisme

De intuïtionist weigert wiskundige objecten te beschouwen als dingen die niet zijn geconstrueerd door de activiteit van de geest. Voor Brouwer waren niet-constructieve bewijstechnieken van het soort dat door Hilbert werd gebruikt, ernstig problematisch. De bredere school van de wiskundige filosofie die deze niet-constructieve bewijzen verwerpt, staat bekend als: constructivisme . Constructivisten verwerpen vaak het bestaan ​​van het werkelijke oneindige in de wiskunde, dat als een onafhankelijke opvatting bekend staat als: finitisme (samen met zijn nogal marginale neef, ultrafinitisme , die zelfs eindige objecten verwerpt die 'te groot zijn om redelijkerwijs te construeren'). Hilbert en Brouwer boden dus niet alleen verschillende perspectieven op de realiteit en geldigheid van wiskundige objecten, maar ook radicaal verschillende manieren om wiskunde te doen.

Beide hebben geleid tot een nieuwe studie in de wiskundige logica zelf: intuïtionistische logica bestudeert logische systemen zonder de wet van het uitgesloten midden en is tot op de dag van vandaag een actief onderzoeksgebied. Meer berucht was echter dat de vroege formalistische benadering van Hilbert als optimistisch doel de creatie van een axiomatisch systeem (axioma's zijn aanvankelijke uitspraken altijd verondersteld waar te zijn) waaruit alle wiskunde kon worden afgeleid, en dat zelf vrij was van tegenstrijdigheden. Deze begrippen – respectievelijk genoemd volledigheid en samenhang in wiskundige logica - beide leken volkomen verstandige dingen om te vragen van de door u gekozen wiskundige grondslagen.

In 1900 publiceerde Hilbert een lijst van 23 problemen die hij beschouwde als de voorhoede van de toenmalige hedendaagse wiskunde. De tweede plaats op de lijst was om aan te tonen dat zijn rekenkundige axioma's consistent waren. Dit systeem van axioma's bood de gebruikelijke rekenkundige basisstructuren die we kennen - getallen, optellen, aftrekken, enz. - en, zo hoopte men, waren ook krachtig genoeg om de rest van de wiskunde te formaliseren.

Gödels onvolledigheidsstelling: problemen in het paradijs

De nu beruchte twee onvolledigheidsstellingen van Kurt Gödel maakten een einde aan de meer starre interpretaties van Hilberts project door aan te tonen dat Nee systeem van axioma's met rekenkunde kan zijn eigen consistentie bewijzen. Het zijn precieze en subtiele logische stellingen en filosofen zijn voorzichtig geweest bij het overwegen van de gevolgen voor het wiskundig realisme (Gödel was zelf nog een toegewijd platonist).

Hoewel het programma van Hilbert dat niet was nodig na Gödel volledig tot stilstand gekomen, vormden de stellingen een keerpunt voor de wiskundige logica - en zijn sindsdien het onderwerp van eindeloze filosofische discussies geweest. Hilberts benadering was noch het eerste noch het laatste woord over de axiomatische grondslagen van de wiskunde. Er waren veel grote projecten.

Frege, en later Russell, leidden de logicus benadering, die tot doel had wiskundige stellingen te reduceren tot proposities van de logica. Russell ontdekte op beroemde wijze een serieus probleem in de benadering van Frege - een van zijn axioma's, namelijk om de creatie van een verzameling mogelijk te maken door een beroep te doen op de verzameling van alle dingen die aan een bepaalde eigenschap voldoen, stuitte op een tegenstrijdigheid, nu bekend als Russells paradox: dat de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten, een onzinnige entiteit, door deze wet is toegestaan. Op hun beurt leken de stellingen van Gödel een rem te zetten op Russells eigen logicistische ambities, en wiskundigen wendden zich tot minder ambitieuze benaderingen. Frege en Russell waren beiden zelf een integraal onderdeel van de vroege ontwikkeling van Ludwig Wittgenstein , wiens werk een breed scala aan verdere implicaties heeft voor de filosofie van de wiskunde, waaronder de status van logica en hun relatie met natuurlijke taal.

Oude vragen, nieuwe vragen: de toekomst van de filosofie van de wiskunde

Uiteindelijk werd een werkende oplossing voor het probleem van de axiomatisering van de verzamelingenleer gevonden in de vorm van de Zermelo-Fraenkel-axioma's (samen met het axioma van keuze, historisch controversieel, zij het tegenwoordig minder) ... Praktisch gezien is deze ontologie - die alleen een object, een set , waaruit alles is opgebouwd – is tegenwoordig de ‘standaard’ voor wiskundigen (hoewel zeker niet de enige keuze).

De verzamelingenleer van Zermelo-Fraenkel ligt helemaal langs het pad van filosofische speculatie naar concrete wiskundige kennis - het is nu zelf een wiskundig object dat door logici wordt bestudeerd. Maar net zoals Cantors idee van set de manier waarop filosofen over wiskunde denken uitgedaagd, dus nieuwere abstracties beginnen hetzelfde te doen, terwijl nieuwe fundamentele benaderingen komen en gaan. Niet alleen zijn oude vragen nog vers, maar nieuwe vragen komen voort uit nieuwe ideeën in de wiskunde, die filosofen altijd bezig houden, aangezien de wisselwerking tussen filosofie en wiskunde zich verdiept.