Wiskundige formules voor geometrische vormen

GedachteCo.

In wiskunde (vooral geometrie ) en wetenschap, moet je vaak het oppervlak, het volume of de omtrek van verschillende vormen berekenen. Of het nu een bol of een cirkel is, een rechthoek of een kubus , een piramide of een driehoek, elke vorm heeft specifieke formules die u moet volgen om de juiste afmetingen te krijgen.

We gaan de formules onderzoeken die je nodig hebt om het oppervlak en het volume van driedimensionale vormen te bepalen, evenals de Oppervlakte en perimeter van tweedimensionale vormen . U kunt deze les bestuderen om elke formule te leren en deze bij de hand houden zodat u hem de volgende keer dat u hem nodig heeft snel kunt raadplegen. Het goede nieuws is dat elke formule veel van dezelfde basismetingen gebruikt, dus het leren van elke nieuwe formule wordt een beetje gemakkelijker.

01 van 16

Oppervlakte en volume van een bol

D. Russell

Een driedimensionale cirkel staat bekend als een bol. Om het oppervlak of het volume van een bol te berekenen, moet u de straal ( r ). De straal is de afstand van het middelpunt van de bol tot de rand en is altijd hetzelfde, ongeacht vanaf welke punten op de rand van de bol je meet.

Als je eenmaal de straal hebt, zijn de formules vrij eenvoudig te onthouden. Net als bij ​ de omtrek van de cirkel , moet u pi gebruiken ( Pi ). Over het algemeen kunt u dit oneindige getal afronden op 3,14 of 3,14159 (de geaccepteerde breuk is 22/7).

Oppervlakte = 4πr^twee Volume = 4/3 r³

02 van 16

Oppervlakte en volume van een kegel

D. Russell

Een kegel is een piramide met een cirkelvormige basis met schuine zijden die in een centraal punt samenkomen. Om het oppervlak of volume te berekenen, moet u de straal van de basis en de lengte van de zijde kennen.

Als je het niet weet, kun je de lengte van de zijkant vinden ( s ) met behulp van de straal ( r ) en de hoogte van de kegel ( h ).

s = √(r2 + h2)

Daarmee kun je dan de totale oppervlakte vinden, de som van de oppervlakte van de basis en de oppervlakte van de zijkant.

Gebied van basis: πr^twee Zijgebied: πrs Totale oppervlakte = πr^twee+ pr

Om het volume van een bol te vinden, heb je alleen de straal en de hoogte nodig.

Volume = 1/3 πr^tweeh

03 van 16

Oppervlakte en volume van een cilinder

D. Russell

U zult merken dat een cilinder veel gemakkelijker is om mee te werken dan een kegel. Deze vorm heeft een cirkelvormige basis en rechte, evenwijdige zijden. Dit betekent dat om het oppervlak of volume te vinden, u alleen de straal ( r ) en hoogte ( h ).

Je moet er echter ook rekening mee houden dat er zowel een boven- als een onderkant is, daarom moet de straal voor het oppervlak met twee worden vermenigvuldigd.

Oppervlakte = 2πr^twee+ 2πrh Volume = πr^tweeh

04 van 16

Oppervlakte en volume van een rechthoekig prisma

D. Russell

Een rechthoek in drie dimensies wordt een rechthoekig prisma (of een doos). Als alle zijden even groot zijn, wordt het een kubus. Hoe dan ook, het vinden van het oppervlak en het volume vereist dezelfde formules.

Hiervoor moet u de lengte weten ( ik ), de hoogte ( h ), en de breedte ( in ). Met een kubus zijn ze alle drie hetzelfde.

Oppervlakte = 2(lh) + 2(lw) + 2(wh) Volume = lhw

05 van 16

Oppervlakte en volume van een piramide

D. Russell

Een piramide met een vierkante basis en vlakken gemaakt van gelijkzijdige driehoeken is relatief eenvoudig om mee te werken.

U moet de maat weten voor één lengte van de basis ( b ). De hoogte ( h ) is de afstand van de basis tot het middelpunt van de piramide. De kant ( s ) is de lengte van één zijde van de piramide, van de basis tot het bovenste punt.

Oppervlakte = 2bs + b^twee Volume = 1/3 b^tweeh

Een andere manier om dit te berekenen is door de omtrek ( P ) en het gebied ( EEN ) van de basisvorm. Dit kan worden gebruikt op een piramide die een rechthoekige in plaats van een vierkante basis heeft.

Oppervlakte = ( ½ x P x s ) + A Volume = 1/3 Ah

06 van 16

Oppervlakte en volume van een prisma

D. Russell

Wanneer u overstapt van een piramide naar een gelijkbenig driehoekig prisma, moet u ook rekening houden met de lengte ( ik ) van de vorm. Onthoud de afkortingen voor grondtal ( b ), hoogte ( h ), en zijkant ( s ) omdat ze nodig zijn voor deze berekeningen.

Oppervlakte = bh + 2ls + lb Volume = 1/2 (bh)l

Toch kan een prisma elke stapel vormen zijn. Als u de oppervlakte of het volume van een oneven prisma moet bepalen, kunt u vertrouwen op de oppervlakte ( EEN ) en de omtrek ( P ) van de basisvorm. Vaak gebruikt deze formule de hoogte van het prisma, of diepte ( d ), in plaats van de lengte ( ik ), hoewel u beide afkortingen kunt zien.

Oppervlakte = 2A + Pd Volume = Advertentie

07 van 16

Gebied van een cirkelsector

D. Russell

De oppervlakte van een sector van een cirkel kan worden berekend in graden (of radialen zoals vaker gebruikt in calculus). Hiervoor heb je de straal ( r ), pi ( Pi ), en de centrale hoek ( i ).

Oppervlakte = θ/2 r^twee(in radialen)Oppervlakte = θ/360 pr^twee(in graden)

08 van 16

Oppervlakte van een ellips

D. Russell

Een ellips wordt ook wel een ovaal genoemd en is in wezen een langwerpige cirkel. De afstanden van het middelpunt naar de zijkant zijn niet constant, wat de formule voor het vinden van het gebied een beetje lastig maakt.

Om deze formule te gebruiken, moet u weten:

• Semiminor-as ( a ): De kortste afstand tussen het middelpunt en de rand.
• Halve grote as ( b ): De langste afstand tussen het middelpunt en de rand.

De som van deze twee punten blijft wel constant. Daarom kunnen we de volgende formule gebruiken om de oppervlakte van een ellips te berekenen.

Oppervlakte = ab

Soms ziet u deze formule geschreven met r₁ (straal 1 of halve secundaire as) en r_twee (straal 2 of halve lange as) in plaats van a en b .

Oppervlakte = πr₁r_twee

09 van 16

Oppervlakte en omtrek van een driehoek

De driehoek is een van de eenvoudigste vormen en het berekenen van de omtrek van deze driezijdige vorm is vrij eenvoudig. U moet de lengtes van alle drie de zijden weten ( a, b, c ) om de volledige omtrek te meten.

Omtrek = a + b + c

Om de oppervlakte van de driehoek te bepalen, heb je alleen de lengte van de basis nodig ( b ) en de hoogte ( h ), die wordt gemeten vanaf de basis tot de top van de driehoek. Deze formule werkt voor elke driehoek, ongeacht of de zijden gelijk zijn of niet.

Oppervlakte = 1/2 bh

10 van 16

Oppervlakte en omtrek van een cirkel

Net als bij een bol, moet je de straal weten ( r ) van een cirkel om de diameter te achterhalen ( d ) en omtrek ( c ). Houd er rekening mee dat een cirkel een ellips is die een gelijke afstand heeft van het middelpunt naar elke zijde (de straal), dus het maakt niet uit waar op de rand je meet.

Diameter (d) = 2r Omtrek (c) = πd of 2πr

Deze twee metingen worden gebruikt in een formule om de oppervlakte van de cirkel te berekenen. Het is ook belangrijk om te onthouden dat de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de diameter gelijk is aan pi ( Pi ).

Oppervlakte = πr^twee

11 van 16

Oppervlakte en omtrek van een parallellogram

Het parallellogram heeft twee sets van tegenover elkaar liggende zijden die evenwijdig aan elkaar lopen. De vorm is een vierhoek, dus het heeft vier zijden: twee zijden van één lengte ( a ) en twee zijden van een andere lengte ( b ).

Gebruik deze eenvoudige formule om de omtrek van een parallellogram te bepalen:

Omtrek = 2a + 2b

Als je de oppervlakte van een parallellogram moet vinden, heb je de hoogte nodig ( h ). Dit is de afstand tussen twee evenwijdige zijden. De basis ( b ) is ook vereist en dit is de lengte van een van de zijkanten.

Oppervlakte = b x h

Houd er rekening mee dat de b in de oppervlakteformule is niet hetzelfde als de b in de omtrekformule. U kunt elk van de zijkanten gebruiken - die waren gekoppeld als a en b bij het berekenen van de omtrek, hoewel we meestal een zijde gebruiken die loodrecht op de hoogte staat.

12 van 16

Oppervlakte en omtrek van een rechthoek

De rechthoek is ook een vierhoek. In tegenstelling tot het parallellogram zijn de binnenhoeken altijd gelijk aan 90 graden. Ook zullen de tegenover elkaar liggende zijden altijd even lang zijn.

Om de formules voor omtrek en oppervlakte te gebruiken, moet u de lengte van de rechthoek meten ( ik ) en de breedte ( in ).

Omtrek = 2u + 2w Oppervlakte = h x w

13 van 16

Oppervlakte en omtrek van een vierkant

Het vierkant is nog makkelijker dan de rechthoek omdat het een rechthoek is met vier gelijke zijden. Dat betekent dat u maar de lengte van één zijde hoeft te weten ( s ) om de omtrek en oppervlakte te vinden.

Omtrek = 4s Oppervlakte = s^twee

14 van 16

Oppervlakte en omtrek van een trapezium

De trapezium is een vierhoek die eruit kan zien als een uitdaging, maar het is eigenlijk vrij eenvoudig. Voor deze vorm zijn slechts twee zijden evenwijdig aan elkaar, hoewel alle vier de zijden een verschillende lengte kunnen hebben. Dit betekent dat u de lengte van elke zijde moet weten ( een, b₁, b_twee, c ) om de omtrek van een trapezium te vinden.

Omtrek = a + b₁+ b_twee+ c

Om de oppervlakte van een trapezium te vinden, heb je ook de hoogte nodig ( h ). Dit is de afstand tussen de twee evenwijdige zijden.

Oppervlakte = 1/2 (b₁+ b_twee) x h

15 van 16

Oppervlakte en omtrek van een zeshoek

Een zeszijdige veelhoek met gelijke zijden is een regelmatige zeshoek. De lengte van elke zijde is gelijk aan de straal ( r ). Hoewel het misschien een ingewikkelde vorm lijkt, is het berekenen van de omtrek een kwestie van de straal vermenigvuldigen met de zes zijden.

Omtrek = 6r

Het bepalen van de oppervlakte van een zeshoek is iets moeilijker en je zult deze formule moeten onthouden:

Oppervlakte = (3√3/2 )r^twee

16 van 16

Oppervlakte en omtrek van een achthoek

Een regelmatige achthoek is vergelijkbaar met een zeshoek, hoewel deze veelhoek acht gelijke zijden heeft. Om de omtrek en het gebied van deze vorm te vinden, hebt u de lengte van één zijde nodig ( a ).

Omtrek = 8a Oppervlakte = ( 2 + 2√2 )a^twee