Kansen voor het gooien van twee dobbelstenen
Tetra-afbeeldingen/Getty Images
Een populaire manier om waarschijnlijkheid te bestuderen, is door dobbelstenen te gooien. Een standaard dobbelsteen heeft zes zijden bedrukt met kleine stippen met de nummers 1, 2, 3, 4, 5 en 6. Als de dobbelsteen eerlijk is (en we zullen aannemen dat ze allemaal zijn), dan is elk van deze uitkomsten even waarschijnlijk. Aangezien er zes mogelijke uitkomsten zijn, is de kans om een kant van de dobbelsteen te krijgen 1/6. De kans op het gooien van een 1 is 1/6, de kans op het gooien van een 2 is 1/6, enzovoort. Maar wat gebeurt er als we nog een dobbelsteen toevoegen? Wat zijn de kansen voor het gooien van twee dobbelstenen?
Dice Roll Waarschijnlijkheid
Om de kans op een dobbelsteenworp correct te bepalen, moeten we twee dingen weten:
- De grootte van de voorbeeldruimte of de verzameling van de totale mogelijke uitkomsten
- Hoe vaak komt een gebeurtenis voor
In waarschijnlijkheid , een gebeurtenis is een bepaalde subset van de voorbeeldruimte. Als er bijvoorbeeld maar één dobbelsteen wordt gegooid, zoals in het bovenstaande voorbeeld, is de monsterruimte gelijk aan alle waarden op de dobbelsteen of de set (1, 2, 3, 4, 5, 6). Omdat de dobbelsteen eerlijk is, komt elk nummer in de set maar één keer voor. Met andere woorden, de frequentie van elk getal is 1. Om de kans te bepalen dat een van de getallen op de dobbelsteen wordt gegooid, delen we de gebeurtenisfrequentie (1) door de grootte van de steekproefruimte (6), wat resulteert in een kans van 1/6.
Door met twee eerlijke dobbelstenen meer dan het dubbele te gooien, wordt het berekenen van kansen meer dan twee keer zo moeilijk. Dit komt omdat het werpen van een dobbelsteen onafhankelijk is van het werpen van een tweede. De ene rol heeft geen effect op de andere. Bij onafhankelijke gebeurtenissen gebruiken we de vermenigvuldigingsregel . Het gebruik van een boomdiagram laat zien dat er 6 x 6 = 36 mogelijke uitkomsten zijn door met twee dobbelstenen te gooien.
Stel dat de eerste dobbelsteen die we gooien een 1 is. De andere dobbelsteen kan een 1, 2, 3, 4, 5 of 6 zijn. Stel nu dat de eerste dobbelsteen een 2 is. a 1, 2, 3, 4, 5 of 6. We hebben al 12 mogelijke uitkomsten gevonden en moeten nog alle mogelijkheden van de eerste dobbelsteen uitputten.
Waarschijnlijkheidstabel van het gooien van twee dobbelstenen
De mogelijke uitkomsten van het werpen van twee dobbelstenen worden weergegeven in de onderstaande tabel. Merk op dat het totaal aantal mogelijke uitkomsten gelijk is aan de steekproefruimte van de eerste dobbelsteen (6) vermenigvuldigd door de monsterruimte van de tweede dobbelsteen (6), die 36 is.
| 1 | twee | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (elf) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (vijftien) | (1, 6) |
| twee | (eenentwintig) | (2, 2) | (23) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3. 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (Vier vijf) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Drie of meer dobbelstenen
Hetzelfde principe is van toepassing als we werken aan: problemen met drie dobbelstenen . We vermenigvuldigen en zien dat er 6 x 6 x 6 = 216 mogelijke uitkomsten zijn. Omdat het omslachtig wordt om de herhaalde vermenigvuldiging te schrijven, kunnen we exponenten gebruiken om het werk te vereenvoudigen. Voor twee dobbelstenen zijn er 6tweeMogelijke resultaten. Voor drie dobbelstenen zijn er 63Mogelijke resultaten. In het algemeen, als we rollen n dobbelstenen, dan zijn er in totaal 6 n Mogelijke resultaten.
Voorbeeldproblemen
Met deze kennis kunnen we allerlei kansproblemen oplossen:
1. Er worden twee zeszijdige dobbelstenen gegooid. Wat is de kans dat de som van de twee dobbelstenen zeven is?
De eenvoudigste manier om dit probleem op te lossen, is door de bovenstaande tabel te raadplegen. U zult merken dat er in elke rij één dobbelsteenworp is waarbij de som van de twee dobbelstenen gelijk is aan zeven. Omdat er zes rijen zijn, zijn er zes mogelijke uitkomsten waarbij de som van de twee dobbelstenen gelijk is aan zeven. Het totaal aantal mogelijke uitkomsten blijft 36. Opnieuw vinden we de kans door de gebeurtenisfrequentie (6) te delen door de grootte van de steekproefruimte (36), wat resulteert in een kans van 1/6.
2. Er worden twee zeszijdige dobbelstenen gegooid. Wat is de kans dat de som van de twee dobbelstenen is drie?
In het vorige probleem is het je misschien opgevallen dat de cellen waar de som van de twee dobbelstenen gelijk is aan zeven een diagonaal vormen. Hetzelfde geldt hier, behalve dat er in dit geval slechts twee cellen zijn waar de som van de dobbelstenen drie is. Dat komt omdat er maar twee manieren zijn om dit resultaat te krijgen. Je moet een 1 en een 2 gooien of je moet een 2 en een 1 gooien. De combinaties voor het gooien van een som van zeven zijn veel groter (1 en 6, 2 en 5, 3 en 4, enzovoort). Om de kans te vinden dat de som van de twee dobbelstenen drie is, kunnen we de gebeurtenisfrequentie (2) delen door de grootte van de steekproefruimte (36), wat resulteert in een kans van 1/18.
3. Er worden twee zeszijdige dobbelstenen gegooid. Wat is de kans dat de nummers op de dobbelstenen zijn anders?
Nogmaals, we kunnen dit probleem eenvoudig oplossen door de bovenstaande tabel te raadplegen. Je zult zien dat de vakjes waar de getallen op de dobbelstenen gelijk zijn een diagonaal vormen. Er zijn er maar zes, en als we ze eenmaal hebben doorgestreept, hebben we de resterende cellen waarin de getallen op de dobbelstenen anders zijn. We kunnen het aantal combinaties (30) nemen en dit delen door de grootte van de steekproefruimte (36), wat resulteert in een kans van 5/6.