Hoe een stelsel van lineaire vergelijkingen op te lossen?

Yagi Studio / Getty Images

In de wiskunde is een lineaire vergelijking een vergelijking die twee variabelen bevat en als een rechte lijn in een grafiek kan worden uitgezet. Een stelsel lineaire vergelijkingen is een groep van twee of meer lineaire vergelijkingen die allemaal dezelfde reeks variabelen bevatten. Systemen van lineaire vergelijkingen kunnen worden gebruikt om echte problemen te modelleren. Ze kunnen op verschillende manieren worden opgelost:

1. Grafieken
2. vervanging
3. eliminatie door toevoeging
4. eliminatie door aftrekken

01 van 04

Grafieken

Eric Raptosh Fotografie/Blend Afbeeldingen/Getty Images

Grafieken is een van de eenvoudigste manieren om een ​​stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen. Het enige dat u hoeft te doen, is elke vergelijking als een lijn in een grafiek uit te zetten en de punt(en) te vinden waar de lijnen elkaar snijden.

Beschouw bijvoorbeeld het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met de variabelen: x en Y :

Y = x + 3
Y = -1 x - 3

Deze vergelijkingen zijn al geschreven in helling-onderscheppingsvorm , waardoor ze gemakkelijk in een grafiek kunnen worden weergegeven. Als de vergelijkingen niet in de vorm van een hellingsintercept zijn geschreven, moet u ze eerst vereenvoudigen. Zodra dat is gebeurd, oplossen voor x en Y vereist slechts een paar eenvoudige stappen:

1. Teken beide vergelijkingen.

2. Zoek het punt waar de vergelijkingen elkaar snijden. In dit geval is het antwoord (-3, 0).

3. Controleer of je antwoord correct is door de waarden in te vullen x = -3 en Y = 0 in de oorspronkelijke vergelijkingen.

Y = x + 3
(0) = (-3) + 3
0 = 0

Y = -1 x - 3
0 = -1(-3) - 3
0 = 3 - 3
0 = 0

02 van 04

vervanging

Een andere manier om een ​​stelsel vergelijkingen op te lossen is door substitutie. Met deze methode vereenvoudigt u in wezen de ene vergelijking en neemt u deze op in de andere, waardoor u een van de onbekende variabelen kunt elimineren.

Beschouw het volgende stelsel lineaire vergelijkingen:

3 x + Y = 6
x = 18 -3 Y

In de tweede vergelijking, x is al geïsoleerd. Als dat niet het geval was, zouden we eerst de vergelijking moeten vereenvoudigen om te isoleren x . geïsoleerd hebben x in de tweede vergelijking kunnen we dan de vervangen x in de eerste vergelijking met de equivalente waarde uit de tweede vergelijking: (18 - 3j) .

1. Vervangen x in de eerste vergelijking met de gegeven waarde van x in de tweede vergelijking.

3 ( 18 – 3 jaar ) + Y = 6

2. Vereenvoudig elke kant van de vergelijking.

54 – 9 Y + Y = 6
54 – 8 Y = 6

3. Los de vergelijking op voor Y .

54 – 8 Y – 54 = 6 – 54
-8 Y = -48
-8 Y /-8 = -48/-8

y = 6

4. Sluit aan Y = 6 en los op voor x .

x = 18 -3 Y
x = 18 -3(6)
x = 18 - 18
x = 0

5. Controleer of (0,6) de oplossing is.

x = 18 -3 Y
0 = 18 – 3(6)
0 = 18 -18
0 = 0

03 van 04

Eliminatie door toevoeging

Als de lineaire vergelijkingen die je krijgt zijn geschreven met de variabelen aan de ene kant en een constante aan de andere kant, is de eenvoudigste manier om het systeem op te lossen door eliminatie.

Beschouw het volgende stelsel lineaire vergelijkingen:

x + Y = 180
3 x + 2 Y = 414

1. Schrijf eerst de vergelijkingen naast elkaar, zodat je de coëfficiënten gemakkelijk kunt vergelijken met elke variabele.

2. Vermenigvuldig vervolgens de eerste vergelijking met -3.

-3(x + y = 180)

3. Waarom hebben we vermenigvuldigd met -3? Voeg de eerste vergelijking toe aan de tweede om erachter te komen.

-3x + -3y = -540
+ 3x + 2j = 414
0 + -1j = -126

We hebben nu de variabele geëlimineerd x .

4. Los de variabele op Y :

Y = 126

5. Sluit aan Y = 126 om te vinden x .

x + Y = 180
x + 126 = 180
x = 54

6. Controleer of (54, 126) het juiste antwoord is.

3 x + 2 Y = 414
3(54) + 2(126) = 414
414 = 414

04 van 04

Eliminatie door aftrekken

Een andere manier om op te lossen door eliminatie is om de gegeven lineaire vergelijkingen af ​​te trekken in plaats van op te tellen.

Beschouw het volgende stelsel lineaire vergelijkingen:

Y - 12 x = 3
Y - 5 x = -4

1. In plaats van de vergelijkingen op te tellen, kunnen we ze aftrekken om te elimineren Y .

Y - 12 x = 3
- ( Y - 5 x = -4)
0 - 7 x = 7

2. Oplossen voor x .

-7 x = 7
x = -1

3. Sluit aan x = -1 om op te lossen voor Y .

Y - 12 x = 3
Y - 12(-1) = 3
Y + 12 = 3
Y = -9

4. Controleer of (-1, -9) de juiste oplossing is.

(-9) - 5(-1) = -4
-9 + 5 = -4
-4 = -4