Het getal Pi: 3.14159265...

Pi. Carol Yepes/Getty Images

Een van de meest gebruikte constanten in de wiskunde is het getal pi, dat wordt aangeduid met de Griekse letter π. Het concept van pi is ontstaan ​​in de geometrie, maar dit nummer heeft toepassingen in de wiskunde en komt voor in verreikende onderwerpen, waaronder statistiek en waarschijnlijkheid. Pi heeft zelfs culturele erkenning gekregen en zijn eigen feestdag, met de viering van Pi-dagactiviteiten rond de wereld.

De waarde van Pi

Pi wordt gedefinieerd als de verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn diameter. De waarde van pi is iets groter dan drie, wat betekent dat elke cirkel in het heelal een omtrek heeft met een lengte die iets meer dan drie keer de diameter is. Om precies te zijn, pi heeft een decimale representatie die begint met 3.14159265... Dit is slechts een deel van de decimale uitbreiding van pi.

Pi-feiten

Pi heeft veel fascinerende en ongebruikelijke eigenschappen, waaronder:

• Pi is een irrationeel echt nummer . Dit betekent dat pi niet kan worden uitgedrukt als een breuk a/b waar a en b zijn beide gehele getallen . Hoewel de getallen 22/7 en 355/113 nuttig zijn bij het schatten van pi, is geen van deze breuken de werkelijke waarde van pi.
• Omdat pi een irrationeel getal is, eindigt of herhaalt de decimale uitbreiding nooit. Er zijn enkele vragen over deze decimale uitbreiding, zoals: Komt elke mogelijke reeks cijfers ergens in de decimale uitbreiding van pi voor? Als alle mogelijke strings verschijnen, bevindt je mobiele telefoonnummer zich ergens in de uitbreiding van pi (maar dat geldt ook voor alle anderen).
• Pi is een transcendentaal getal. Dit betekent dat pi niet het nulpunt is van een polynoom met gehele coëfficiënten. Dit feit is belangrijk bij het verkennen van meer geavanceerde functies van pi.
• Pi is geometrisch belangrijk, en niet alleen omdat het betrekking heeft op de omtrek en diameter van een cirkel. Dit getal komt ook voor in de formule voor de oppervlakte van een cirkel. De oppervlakte van een cirkel met straal r is EEN = pi r ^twee. Het getal pi wordt gebruikt in andere geometrische formules, zoals het oppervlak en het volume van een bol, het volume van een kegel en het volume van een cilinder met een cirkelvormige basis.
• Pi verschijnt wanneer het het minst wordt verwacht. Voor een van de vele voorbeelden hiervan, overweeg: de oneindige som 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 +... Deze som convergeert naar de waarde pi^twee/6.

Pi in Statistieken en Waarschijnlijkheid

Pi maakt verrassende verschijningen in de wiskunde, en sommige van deze verschijningen zijn in de onderwerpen waarschijnlijkheid en statistiek. De formule voor de standaard normale verdeling , ook bekend als de belcurve, heeft het getal pi als een constante van normalisatie. Met andere woorden, delen door een uitdrukking met pi stelt je in staat te zeggen dat het gebied onder de curve gelijk is aan één. Pi maakt deel uit van de formules voor andere kansverdelingen ook.

Een ander verrassend voorkomen van pi in waarschijnlijkheid is een eeuwenoud experiment met naalden. In de 18e eeuw, Georges-Louis Leclerc, graaf de Buffon stelde een vraag over de kans op het laten vallen van naalden: Begin met een vloer met planken van een uniforme breedte waarin de lijnen tussen elk van de planken evenwijdig aan elkaar zijn. Neem een ​​naald met een lengte die korter is dan de afstand tussen de planken. Als je een naald op de grond laat vallen, wat is dan de kans dat deze op een lijn tussen twee van de houten planken terechtkomt?

Het blijkt dat de kans dat de naald op een lijn tussen twee planken terechtkomt tweemaal de lengte van de naald is gedeeld door de lengte tussen de planken maal pi.