Foutmargeformule voor populatiegemiddelde

Formule voor het berekenen van de foutenmarge voor een betrouwbaarheidsinterval van een populatiegemiddelde.

CK Taylor

De onderstaande formule wordt gebruikt om de foutmarge te berekenen voor een Betrouwbaarheidsinterval van een populatie gemeen . De voorwaarden die nodig zijn om deze formule te gebruiken, zijn dat we een steekproef moeten hebben uit een populatie die: normaal verdeeld en ken de standaarddeviatie van de populatie. Het symbool EN geeft de foutenmarge van het onbekende populatiegemiddelde aan. Hieronder volgt een uitleg voor elk van de variabelen.

01 van 06

Niveau van vertrouwen

Het symbool α is de Griekse letter alfa. Het hangt samen met het betrouwbaarheidsniveau waarmee we werken voor ons betrouwbaarheidsinterval. Elk percentage van minder dan 100% is mogelijk voor een betrouwbaarheidsniveau, maar om zinvolle resultaten te krijgen, moeten we getallen gebruiken die dicht bij 100% liggen. Gemeenschappelijke niveaus van vertrouwen zijn 90%, 95% en 99%.

De waarde van α wordt bepaald door ons betrouwbaarheidsniveau van één af te trekken en het resultaat als een decimaal te schrijven. Een betrouwbaarheidsniveau van 95% komt dus overeen met een waarde van α = 1 - 0,95 = 0,05.

02 van 06

Kritische waarde

De kritische waarde voor onze foutmargeformule wordt aangegeven met Met /2. Dit is het punt Met * op de standaard normale verdelingstabel van Met -scores waarvoor een oppervlakte van α/2 boven . ligt Met *. Als alternatief is het punt op de klokkromme waarvoor een gebied van 1 - α ligt tussen - Met * en Met *.

Bij een betrouwbaarheidsniveau van 95% hebben we een waarde van α = 0,05. De Met -score Met * = 1,96 heeft rechts een oppervlakte van 0,05/2 = 0,025. Het is ook zo dat er een totale oppervlakte van 0,95 is tussen de z-scores van -1,96 tot 1,96.

De volgende zijn kritische waarden voor gemeenschappelijke niveaus van vertrouwen. Andere niveaus van vertrouwen kunnen worden bepaald door het hierboven beschreven proces.

• Een betrouwbaarheidsniveau van 90% heeft α = 0,10 en een kritische waarde van Met α/2 = 1,64.
• Een betrouwbaarheidsniveau van 95% heeft α = 0,05 en een kritische waarde van Met α/2 = 1,96.
• Een betrouwbaarheidsniveau van 99% heeft α = 0,01 en de kritische waarde van Met α/2 = 2,58.
• Een betrouwbaarheidsniveau van 99,5% heeft α = 0,005 en een kritische waarde van Met α/2 = 2,81.

03 van 06

Standaardafwijking

De Griekse letter sigma, uitgedrukt als σ, is de standaarddeviatie van de populatie die we bestuderen. Bij het gebruik van deze formule gaan we ervan uit dat we weten wat deze standaarddeviatie is. In de praktijk weten we misschien niet per se zeker wat de standaarddeviatie van de populatie werkelijk is. Gelukkig zijn er een aantal manieren om dit te omzeilen, zoals het gebruik van een ander type betrouwbaarheidsinterval.

04 van 06

Steekproefgrootte

De steekproefomvang wordt in de formule aangegeven met n . De noemer van onze formule bestaat uit de vierkantswortel van de steekproefomvang.

05 van 06

Volgorde van bewerkingen

Aangezien er meerdere stappen zijn met verschillende rekenkundige stappen, is de volgorde van bewerkingen erg belangrijk bij het berekenen van de foutenmarge EN . Na het bepalen van de juiste waarde van Met α/2, vermenigvuldig met de standaarddeviatie. Bereken de noemer van de breuk door eerst de vierkantswortel van te vinden n dan delen door dit getal.

06 van 06

Analyse

Er zijn een paar kenmerken van de formule die aandacht verdienen:

• Een enigszins verrassend kenmerk van de formule is dat, afgezien van de basisveronderstellingen die worden gemaakt over de populatie, de formule voor de foutenmarge niet afhankelijk is van de grootte van de populatie.
• Aangezien de foutenmarge omgekeerd evenredig is met de vierkantswortel van de steekproefomvang, geldt hoe groter de steekproef, hoe kleiner de foutenmarge.
• De aanwezigheid van de vierkantswortel betekent dat we de steekproefomvang drastisch moeten vergroten om enig effect op de foutenmarge te hebben. Als we een bepaalde foutenmarge hebben en deze willen halveren, dan zullen we bij hetzelfde betrouwbaarheidsniveau de steekproefomvang moeten verviervoudigen.
• Om de foutenmarge op een bepaalde waarde te houden en tegelijkertijd ons betrouwbaarheidsniveau te verhogen, moeten we de steekproefomvang vergroten.