Feiten over het nummer e: 2.7182818284590452...

CKTaylor

Als je iemand zou vragen om zijn of haar favoriete wiskundige constante te noemen, zou je waarschijnlijk wat vragende blikken krijgen. Na een tijdje kan iemand vrijwillig dat de beste constante is pi . Maar dit is niet de enige belangrijke wiskundige constante. Een goede tweede, zo niet mededinger voor de kroon van de meest alomtegenwoordige constante is en . Dit getal komt voor in calculus, getaltheorie, kansrekening en statistieken . We zullen enkele kenmerken van dit opmerkelijke getal onderzoeken en zien welke verbanden het heeft met statistieken en waarschijnlijkheid.

Waarde van en

zoals pi, en is een irrationele echt nummer . Dit betekent dat het niet als een breuk kan worden geschreven, en dat de decimale uitbreiding voor altijd doorgaat zonder herhalend blok getallen dat zich voortdurend herhaalt. Het nummer en is ook transcendentaal, wat betekent dat het niet de wortel is van een niet-nul veelterm met rationale coëfficiënten. De eerste vijftig decimalen van worden gegeven door en = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.

Definitie van en

Het nummer en werd ontdekt door mensen die nieuwsgierig waren naar samengestelde rente. In deze vorm van rente verdient de hoofdsom rente en vervolgens verdient de gegenereerde rente rente op zichzelf. Er werd waargenomen dat hoe groter de frequentie van samengestelde perioden per jaar, hoe hoger het gegenereerde rentebedrag. We kunnen bijvoorbeeld kijken naar de samengestelde rente:

• Jaarlijks of eenmaal per jaar
• Halfjaarlijks of twee keer per jaar
• Maandelijks of 12 keer per jaar
• Dagelijks of 365 keer per jaar

Het totale bedrag aan rente stijgt voor elk van deze gevallen.

Er rees de vraag hoeveel geld er aan rente zou kunnen worden verdiend. Om te proberen nog meer geld te verdienen, zouden we in theorie het aantal samengestelde perioden kunnen verhogen tot een zo hoog aantal als we wilden. Het eindresultaat van deze verhoging is dat we zouden beschouwen dat de rente continu wordt verhoogd.

Terwijl de gegenereerde rente toeneemt, gaat dat heel langzaam. Het totale geldbedrag op de rekening stabiliseert zich feitelijk, en de waarde waarnaar dit stabiliseert is en . Om dit uit te drukken met behulp van een wiskundige formule zeggen we dat de limiet as n verhogingen van (1+1/ n ) ⁿ = en .

Gebruik van en

Het nummer en komt voor in de wiskunde. Hier zijn een paar van de plaatsen waar het verschijnt:

• Het is de basis van de natuurlijke logaritme. Sinds Napier logaritmen heeft uitgevonden, en wordt soms de constante van Napier genoemd.
• In calculus, de exponentiële functie en^x heeft de unieke eigenschap zijn eigen afgeleide te zijn.
• Uitdrukkingen met betrekking tot en^x en en^-x combineren om de hyperbolische sinus- en hyperbolische cosinusfuncties te vormen.
• Dankzij het werk van Euler weten we dat de fundamentele constanten van de wiskunde met elkaar verbonden zijn door de formule en^ik +1=0, waar i is het denkbeeldige getal dat de vierkantswortel is van min één.
• Het nummer en komt voor in verschillende formules in de wiskunde, vooral op het gebied van getaltheorie.

De waarde en in Statistiek

Het belang van het nummer en is niet beperkt tot slechts een paar gebieden van de wiskunde. Er zijn ook verschillende toepassingen van het nummer en in statistiek en waarschijnlijkheid. Een paar hiervan zijn als volgt:

• Het nummer en maakt zijn opwachting in de formule voor de gammafunctie .
• De formules voor de standaard normale verdeling houdt in en tot een negatieve kracht. Deze formule bevat ook pi.
• Veel andere distributies omvatten het gebruik van het nummer en . De formules voor de t-verdeling, gammaverdeling en chikwadraatverdeling bevatten bijvoorbeeld allemaal het getal en .