De momentgenererende functie van een willekeurige variabele

De momentgenererende functie van een willekeurige variabele wordt gedefinieerd in termen van een verwachte waarde. CKTaylor

Een manier om het gemiddelde en de variantie van a . te berekenen kansverdeling is het vinden van verwachte waarden van de willekeurige variabelen X en X ^twee. We gebruiken de notatie EN ( X ) en EN ( X ^twee) om deze verwachte waarden aan te duiden. Over het algemeen is het moeilijk te berekenen EN ( X ) en EN ( X ^twee) direct. Om deze moeilijkheid te omzeilen, gebruiken we wat meer geavanceerde wiskundige theorie en calculus. Het eindresultaat is iets dat onze berekeningen gemakkelijker maakt.

De strategie voor dit probleem is het definiëren van een nieuwe functie, van een nieuwe variabele t dat heet de momentgenererende functie. Met deze functie kunnen we momenten berekenen door simpelweg afgeleiden te nemen.

Aannames

Voordat we de momentgenererende functie definiëren, beginnen we met het instellen van het podium met notatie en definities. Wij laten X wees een Discrete willekeurige variabele . Deze willekeurige variabele heeft de kansmassafunctie f ( x ). De voorbeeldruimte waarmee we werken, wordt aangeduid met S .

In plaats van de verwachte waarde van te berekenen X , we willen de verwachte waarde berekenen van een exponentiële functie gerelateerd aan X . Als er een positieve is echt nummer r zoals dat EN ( en^tX ) bestaat en is eindig voor iedereen t in de tussentijd [- r , r ], dan kunnen we de momentgenererende functie van . definiëren X .

Definitie

De momentgenererende functie is de verwachte waarde van de exponentiële functie hierboven. Met andere woorden, we zeggen dat de momentgenererende functie van X is gegeven door:

M ( t ) = EN ( en^tX )

Deze verwachte waarde is de formule Σ en ^tx f ( x ), waarbij de sommatie alles wordt overgenomen x in de voorbeeldruimte S . Dit kan een eindige of oneindige som zijn, afhankelijk van de gebruikte monsterruimte.

Eigendommen

De momentgenererende functie heeft veel functies die aansluiten op andere onderwerpen in kansrekening en wiskundige statistiek. Enkele van de belangrijkste kenmerken zijn:

• de coëfficiënt van en^{nog bekend} is de kans dat X = b .
• Momentgenererende functies hebben een unieke eigenschap. Als de momentgenererende functies voor twee willekeurige variabelen met elkaar overeenkomen, dan moeten de kansmassafuncties gelijk zijn. Met andere woorden, de willekeurige variabelen beschrijven dezelfde kansverdeling.
• Momentgenererende functies kunnen worden gebruikt om momenten van te berekenen X .

Momenten berekenen

Het laatste item in de bovenstaande lijst verklaart de naam van momentgenererende functies en ook hun nut. Sommige geavanceerde wiskunde zegt dat onder de voorwaarden die we hebben uiteengezet, de afgeleide van elke volgorde van de functie M ( t ) bestaat voor wanneer t = 0. Verder kunnen we in dit geval de volgorde van sommatie en differentiatie veranderen met betrekking tot t om de volgende formules te verkrijgen (alle sommaties zijn over de waarden van x in de voorbeeldruimte S ):

• M ’( t ) = S auto^tx f ( x )
• M ''( t ) = S x^tweeen^tx f ( x )
• M '''( t ) = S x³en^tx f ( x )
• M ⁽ⁿ⁾’( t ) = S xⁿen^tx f ( x )

Als we instellen t = 0 in de bovenstaande formules, dan is de en^tx termijn wordt en ⁰= 1. Zo verkrijgen we formules voor de momenten van de willekeurige variabele X :

• M ’(0) = EN ( X )
• M ’’(0) = EN ( X ^twee)
• M ’’’(0) = EN ( X ³)
• M ^{( n )}(0) = EN ( Xⁿ )

Dit betekent dat als de momentgenererende functie bestaat voor een bepaalde willekeurige variabele, we het gemiddelde en de variantie ervan kunnen vinden in termen van afgeleiden van de momentgenererende functie. Het gemiddelde is M ’(0), en de variantie is M ’’(0) – [ M ’(0)]^twee.

Overzicht

Samenvattend moesten we ons in een behoorlijk krachtige wiskunde waden, dus sommige dingen werden verdoezeld. Hoewel we voor het bovenstaande calculus moeten gebruiken, is ons wiskundige werk uiteindelijk meestal gemakkelijker dan door de momenten rechtstreeks uit de definitie te berekenen.