De correlatiecoëfficiënt berekenen

Illustratie door Hugo Lin. GedachteCo.

Er zijn veel vragen te stellen bij het bekijken van een scatterplot. Een van de meest voorkomende is de vraag hoe goed een rechte lijn de gegevens benadert. Om dit te helpen beantwoorden, is er een beschrijvende statistiek die de correlatiecoëfficiënt wordt genoemd. We zullen zien hoe we deze statistiek kunnen berekenen.

De correlatiecoëfficiënt

Decorrelatiecoëfficiënt, aangeduid met r , vertelt ons hoe dicht gegevens in a spreidingsdiagram vallen langs een rechte lijn. hoe dichter dat de absolute waarde van r is tot één, hoe beter de gegevens worden beschreven door een lineaire vergelijking. Als r =1 of r = -1 dan is de dataset perfect op elkaar afgestemd. Gegevenssets met waarden van r dicht bij nul vertonen weinig tot geen rechtlijnige relatie.

Vanwege de lange berekeningen is het het beste om te rekenen r met behulp van een rekenmachine of statistische software. Het is echter altijd de moeite waard om te weten wat uw rekenmachine aan het doen is tijdens het berekenen. Wat volgt is een proces om de correlatiecoëfficiënt voornamelijk met de hand te berekenen, met een rekenmachine die wordt gebruikt voor de routinematige rekenkundige stappen.

Stappen voor het berekenen r

We beginnen met het opsommen van de stappen voor de berekening van de correlatiecoëfficiënt. De gegevens waarmee we werken zijn:

We beginnen met een paar voorlopige berekeningen. De hoeveelheden uit deze berekeningen zullen worden gebruikt in de volgende stappen van onze berekening van r :

1. Bereken x̄, de gemeenvan alle eerste coördinaten van de gegevens x_i .
2. Bereken ȳ, het gemiddelde van alle tweede coördinaten van de gegevens
3. Y_i .
4. Berekenen s_x het voorbeeld standaardafwijking van alle eerste coördinaten van de gegevens x_i .
5. Berekenen s_Y de standaarddeviatie van de steekproef van alle tweede coördinaten van de gegevens Y_i .

Gebruik de formule (Met_x)_i = ( x_i - x) / s_x en bereken een gestandaardiseerde waarde voor elk x_i .

Gebruik de formule (Met_Y)_i = ( Y_i – ) / s_Y en bereken een gestandaardiseerde waarde voor elk Y_i .

Vermenigvuldig de overeenkomstige gestandaardiseerde waarden: (Met_x)_i(Met_Y)_i

Voeg de producten uit de laatste stap bij elkaar.

Deel de som van de vorige stap door n – 1, waar n is het totale aantal punten in onze set gepaarde gegevens. Het resultaat van dit alles is de correlatiecoëfficiënt r .

Dit proces is niet moeilijk en elke stap is redelijk routinematig, maar het verzamelen van al deze stappen is behoorlijk ingewikkeld. De berekening van de standaarddeviatie is op zichzelf al vervelend genoeg. Maar de berekening van de correlatiecoëfficiënt omvat niet alleen twee standaarddeviaties, maar ook een groot aantal andere bewerkingen.

Een voorbeeld

Om precies te zien hoe de waarde van r is verkregen, bekijken we een voorbeeld. Nogmaals, het is belangrijk op te merken dat we voor praktische toepassingen onze rekenmachine of statistische software willen gebruiken om te berekenen r voor ons.

We beginnen met een lijst van gepaarde gegevens: (1, 1), (2, 3), (4, 5), (5,7). het gemiddelde van de x waarden, het gemiddelde van 1, 2, 4 en 5 is x̄ = 3. We hebben ook dat ȳ = 4. De standaarddeviatie van de

x waarden is s_x = 1.83 en s_Y = 2,58. De onderstaande tabel geeft een overzicht van de andere berekeningen die nodig zijn voor: r . De som van de producten in de meest rechtse kolom is 2,969848. Aangezien er in totaal vier punten zijn en 4 – 1 = 3, delen we de som van de producten door 3. Dit geeft ons een correlatiecoëfficiënt van r = 2,969848/3 = 0,989949.

Tabel voor voorbeeld van berekening van correlatiecoëfficiënt

x	Y	Metx	MetY	MetxMetY
1	1	-1.09544503	-1.161894958	1.272792057
twee	3	-0.547722515	-0.387298319	0.212132009
4	5	0,547722515	0,387298319	0.212132009
5	7	1.09544503	1.161894958	1.272792057