Wiskundige eigenschappen van golven

PASIEKA/Science Photolibrary/Getty Images

Fysieke golven, of mechanische golven , gevormd door de trilling van een medium, of het nu een snaar, de aardkorst of deeltjes van gassen en vloeistoffen is. Golven hebben wiskundige eigenschappen die kunnen worden geanalyseerd om de beweging van de golf te begrijpen. Dit artikel introduceert deze algemene golfeigenschappen, in plaats van hoe ze in specifieke situaties in de natuurkunde kunnen worden toegepast.

Transversale en longitudinale golven

Er zijn twee soorten mechanische golven.

A is zodanig dat de verplaatsingen van het medium loodrecht (dwars) op de voortbewegingsrichting van de golf langs het medium staan. Een snaar in periodieke beweging laten trillen, zodat de golven er langs bewegen, is een transversale golf, net als golven in de oceaan.

EEN lengtegolf is zodanig dat de verplaatsingen van het medium heen en weer zijn in dezelfde richting als de golf zelf. Geluidsgolven, waarbij de luchtdeeltjes in de rijrichting worden voortgeduwd, is een voorbeeld van een langsgolf.

Hoewel de golven die in dit artikel worden besproken, verwijzen naar reizen in een medium, kan de hier geïntroduceerde wiskunde worden gebruikt om de eigenschappen van niet-mechanische golven te analyseren. Elektromagnetische straling kan bijvoorbeeld door de lege ruimte reizen, maar heeft toch dezelfde wiskundige eigenschappen als andere golven. Bijvoorbeeld de Doppler-effect voor geluidsgolven is bekend, maar er bestaat een soortgelijk Doppler-effect voor lichtgolven , en ze zijn gebaseerd op dezelfde wiskundige principes.

Wat veroorzaakt golven?

1. Golven kunnen worden gezien als een verstoring in het medium rond een evenwichtstoestand, die over het algemeen in rust is. De energie van deze verstoring is de oorzaak van de golfbeweging. Een plas water is in evenwicht als er geen golven zijn, maar zodra er een steen in wordt gegooid, wordt het evenwicht van de deeltjes verstoord en begint de golfbeweging.
2. De verstoring van de golfbewegingen, of propageert , met een bepaalde snelheid, genaamd de golfsnelheid ( in ).
3. Golven transporteren energie, maar doen er niet toe. Het medium zelf reist niet; de individuele deeltjes ondergaan heen en weer of op en neer beweging rond de evenwichtspositie.

De golffunctie

Om golfbeweging wiskundig te beschrijven, verwijzen we naar het concept van a Golf functie , die op elk moment de positie van een deeltje in het medium beschrijft. De meest elementaire golffunctie is de sinusgolf, of sinusoïdale golf, die a . is periodieke golf (d.w.z. een golf met herhalende beweging).

Het is belangrijk op te merken dat de golffunctie niet de fysieke golf weergeeft, maar eerder een grafiek is van de verplaatsing rond de evenwichtspositie. Dit kan een verwarrend concept zijn, maar het handige is dat we een sinusoïdale golf kunnen gebruiken om de meeste periodieke bewegingen weer te geven, zoals bewegen in een cirkel of slingeren, die er niet per se golfachtig uitzien als je de werkelijke beweging.

Eigenschappen van de golffunctie

golfsnelheid( in ) - de voortplantingssnelheid van de golf amplitude( EEN ) - de maximale grootte van de verplaatsing vanuit het evenwicht, in SI-eenheden van meters. In het algemeen is het de afstand van het evenwichtsmiddelpunt van de golf tot zijn maximale verplaatsing, of het is de helft van de totale verplaatsing van de golf. periode( T ) - is de tijd voor één golfcyclus (twee pulsen, of van top tot top of van dal tot dal), in SI-eenheden van seconden (hoewel dit ook wel 'seconden per cyclus' kan worden genoemd). frequentie( f ) - het aantal cycli in een tijdseenheid. De SI-eenheid van frequentie is de hertz (Hz) en

1 Hz = 1 cyclus/s = 1 s^-1

hoekfrequentie( oh ) - is 2 Pi maal de frequentie, in SI-eenheden van radialen per seconde.
• golflengte ( ik ) - de afstand tussen twee willekeurige punten op corresponderende posities bij opeenvolgende herhalingen in de golf, dus (bijvoorbeeld) van de ene top of dal naar de volgende, in SI eenheden van meter.
golf nummer( k ) - ook wel de . genoemd voortplantingsconstante , deze bruikbare hoeveelheid wordt gedefinieerd als 2 Pi gedeeld door de golflengte, dus de SI-eenheden zijn radialen per meter. puls- een halve golflengte, van evenwicht terug

Enkele bruikbare vergelijkingen bij het definiëren van de bovenstaande grootheden zijn:

in = ik / T = ik ben

oh = 2 p f = 2 Pi / T

T = 1 / f = 2 Pi / oh

k = 2 Pi / oh

oh = vk

De verticale positie van een punt op de golf, Y , kan worden gevonden als een functie van de horizontale positie, x , en de tijd, t , als we ernaar kijken. We danken de vriendelijke wiskundigen voor het doen van dit werk voor ons, en verkrijgen de volgende bruikbare vergelijkingen om de golfbeweging te beschrijven:

Y ( x, t ) = EEN zonder oh ( t - x / in ) = EEN zonder 2 p f ( t - x / in )

Y ( x, t ) = EEN zonder 2 Pi ( t / T - x / in )

J( x, t ) = EEN zonder ( oh dit - kx )

De golfvergelijking

Een laatste kenmerk van de golffunctie is dat het toepassen van calculus om de tweede afgeleide te nemen levert de golfvergelijking , wat een intrigerend en soms nuttig product is (waar we nogmaals de wiskundigen voor zullen bedanken en accepteren zonder het te bewijzen):

d ^twee Y / dx ^twee= (1 / in ^twee) d ^twee Y / dt ^twee

De tweede afgeleide van Y rekeninghoudend met x is gelijk aan de tweede afgeleide van Y rekeninghoudend met t gedeeld door de golfsnelheid in het kwadraat. Het belangrijkste nut van deze vergelijking is dat: wanneer het zich voordoet, weten we dat de functie Y werkt als een golf met golfsnelheid in en daarom, de situatie kan worden beschreven met behulp van de golffunctie .