Wat zijn momenten in statistieken?

Compassionate Eye/Foundation/Robert Daly/OJO Images/Getty Images

Momenten in wiskundige statistiek omvatten een basisberekening. Deze berekeningen kunnen worden gebruikt om het gemiddelde, de variantie en de scheefheid van een kansverdeling te vinden.

Stel dat we een set gegevens hebben met in totaal n discreet punten. Een belangrijke berekening, die eigenlijk uit meerdere getallen bestaat, wordt de s e moment. De s e moment van de dataset met waarden x ₁, x _twee, x ₃, ... , x_n wordt gegeven door de formule:

( x ₁ ^s + x _twee ^s + x ₃ ^s + ... + x_n^s )/ n

Het gebruik van deze formule vereist dat we voorzichtig zijn met onze volgorde van bewerkingen. We moeten eerst de exponenten doen, optellen en deze som delen door n het totale aantal gegevenswaarden.

Een opmerking over de term 'Moment'

De voorwaarde moment is overgenomen uit de natuurkunde. In de natuurkunde wordt het moment van een systeem van puntmassa's berekend met een formule die identiek is aan die hierboven, en deze formule wordt gebruikt om het zwaartepunt van de punten te vinden. In statistieken zijn de waarden niet langer massa's, maar zoals we zullen zien, meten momenten in statistieken nog steeds iets ten opzichte van het centrum van de waarden.​

Eerste Moment

Voor het eerste moment zetten we s = 1. De formule voor het eerste moment is dus:

( x ₁x_twee+ x ₃+ ... + x_n )/ n

Dit is identiek aan de formule voor het monster gemeen .

Het eerste moment van de waarden 1, 3, 6, 10 is (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.

Tweede Moment

Voor het tweede moment zetten we ons in s = 2. De formule voor het tweede moment is:

( x ₁^twee+ x _twee^twee+ x ₃^twee+ ... + x_n ^twee)/ n

Het tweede moment van de waarden 1, 3, 6, 10 is (1^twee+ 3^twee+ 6^twee+ 10^twee) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.

Derde Moment

Voor het derde moment zetten we ons in s = 3. De formule voor het derde moment is:

( x ₁³+ x _twee³+ x ₃³+ ... + x_n ³)/ n

Het derde moment van de waarden 1, 3, 6, 10 is (1³+ 3³+ 6³+ 10³) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.

Hogere momenten kunnen op een vergelijkbare manier worden berekend. Gewoon vervangen s in de bovenstaande formule met het getal dat het gewenste moment aangeeft.

Momenten over het gemiddelde

Een verwant idee is dat van de s e moment over het gemiddelde. In deze berekening voeren we de volgende stappen uit:

1. Bereken eerst het gemiddelde van de waarden.
2. Trek vervolgens dit gemiddelde van elke waarde af.
3. Verhoog vervolgens elk van deze verschillen tot de s de macht.
4. Voeg nu de nummers uit stap #3 bij elkaar.
5. Deel deze som tenslotte door het aantal waarden waarmee we zijn begonnen.

De formule voor de s e moment over het gemiddelde m van de waarden waarden x ₁, x _twee, x ₃, ..., x_n is gegeven door:

m_s = (( x ₁- m ) ^s + ( x _twee- m ) ^s + ( x ₃- m ) ^s + ... + ( x_n - m ) ^s )/ n

Eerste moment over het gemiddelde

Het eerste moment over het gemiddelde is altijd gelijk aan nul, ongeacht de dataset waarmee we werken. Dit is te zien aan het volgende:

m ₁= (( x ₁- m ) + ( x _twee- m ) + ( x ₃- m ) + ... + ( x_n - m ))/ n = (( x ₁+ x _twee+ x ₃+ ... + x_n ) - nm )/ n = m - m = 0.

Tweede moment over het gemiddelde

Het tweede moment over het gemiddelde wordt verkregen uit de bovenstaande formule door in te stellen s = 2:

m _twee= (( x ₁- m )^twee+ ( x _twee- m )^twee+ ( x ₃- m )^twee+ ... + ( x_n - m )^twee)/ n

Deze formule is gelijk aan die voor de steekproefvariantie.

Beschouw bijvoorbeeld de set 1, 3, 6, 10. We hebben al berekend dat het gemiddelde van deze set 5 is. Trek dit af van elk van de gegevenswaarden om verschillen te verkrijgen van:

• 1 – 5 = -4
• 3 – 5 = -2
• 6 – 5 = 1
• 10 – 5 = 5

We kwadrateren elk van deze waarden en tellen ze bij elkaar op: (-4)^twee+ (-2)^twee+ 1^twee+ 5^twee= 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Deel dit getal tenslotte door het aantal datapunten: 46/4 = 11,5

Toepassingen van Moments

Zoals hierboven vermeld, is het eerste moment het gemiddelde en het tweede moment rond het gemiddelde is de steekproefvariantie. Karl Pearson introduceerde het gebruik van het derde moment over het gemiddelde bij het berekenen scheefheid en het vierde moment over het gemiddelde in de berekening van kurtosis .