Som van kwadraten Formule Snelkoppeling

Som van vierkanten formule snelkoppeling. CKTaylor

De berekening van a steekproef variantie of standaardafwijking wordt meestal weergegeven als een breuk. De teller van deze breuk betreft een som van gekwadrateerde afwijkingen van het gemiddelde. in statistieken , de formule voor deze totale kwadratensom is

S (x_i- x)^twee

Hier verwijst het symbool x̄ naar het steekproefgemiddelde, en het symbool Σ vertelt ons om de kwadratische verschillen (x_i- x̄) voor iedereen i .

Hoewel deze formule werkt voor berekeningen, is er een equivalente sneltoetsformule waarvoor we niet eerst de . hoeven te berekenen steekproefgemiddelde . Deze sneltoetsformule voor de kwadratensom is

S(x_i^twee)-(S x_i)^twee/ n

Hier de variabele n verwijst naar het aantal gegevenspunten in onze steekproef.

Voorbeeld van standaardformule

Om te zien hoe deze sneltoetsformule werkt, bekijken we een voorbeeld dat met beide formules is berekend. Stel dat onze steekproef 2, 4, 6, 8 is. Het steekproefgemiddelde is (2 + 4 + 6 + 8)/4 = 20/4 = 5. Nu berekenen we het verschil van elk gegevenspunt met het gemiddelde 5.

• 2 – 5 = -3
• 4 – 5 = -1
• 6 – 5 = 1
• 8 – 5 = 3

We kwadrateren nu elk van deze getallen en tellen ze bij elkaar op. (-3)^twee+ (-1)^twee+ 1^twee+ 3^twee= 9 + 1 + 1 + 9 = 20.

Voorbeeld formule voor snelkoppeling

Nu zullen we dezelfde set gegevens gebruiken: 2, 4, 6, 8, met de sneltoetsformule om de kwadratensom te bepalen. We kwadrateren eerst elk gegevenspunt en tellen ze bij elkaar op:^twee+ 4^twee+ 6^twee+ 8^twee= 4 + 16 + 36 + 64 = 120.

De volgende stap is om alle gegevens bij elkaar op te tellen en deze som te kwadrateren: (2 + 4 + 6 + 8)^twee= 400. We delen dit door het aantal gegevenspunten om 400/4 =100 te verkrijgen.

Dit getal trekken we nu af van 120. Dit geeft ons dat de som van de gekwadrateerde afwijkingen 20 is. Dit was precies het getal dat we al uit de andere formule hebben gevonden.

Hoe werkt dit?

Veel mensen accepteren de formule gewoon voor de nominale waarde en hebben geen idee waarom deze formule werkt. Door een beetje algebra te gebruiken, kunnen we zien waarom deze sneltoetsformule gelijk is aan de standaard, traditionele manier om de som van gekwadrateerde afwijkingen te berekenen.

Hoewel er honderden, zo niet duizenden waarden in een real-world dataset kunnen zijn, gaan we ervan uit dat er slechts drie datawaarden zijn: x₁, x_twee, x₃. Wat we hier zien, kan worden uitgebreid tot een dataset met duizenden punten.

We beginnen met op te merken dat ( x₁+ x_twee+ x₃) = 3 x̄. De uitdrukking Σ(x_i- x)^twee= (x₁- x)^twee+ (x_twee- x)^twee+ (x₃- x)^twee.

We gebruiken nu het feit uit de basisalgebra dat (a + b)^twee= a^twee+2ab + b^twee. Dit betekent dat (x₁- x)^twee= x₁^twee-2x₁x̄+ x̄^twee. We doen dit voor de andere twee termen van onze sommatie, en we hebben:

x₁^twee-2x₁x̄+ x̄^twee+ x_twee^twee-2x_tweex̄+ x̄^twee+ x₃^twee-2x₃x̄+ x̄^twee.

We herschikken dit en hebben:

x₁^twee+ x_twee^twee+ x₃^twee+ 3x̄^twee- 2x̄(x₁+ x_twee+ x₃) .

Door te herschrijven (x₁+ x_twee+ x₃) = 3x̄ het bovenstaande wordt:

x₁^twee+ x_twee^twee+ x₃^twee- 3x̄^twee.

Nu sinds 3x̄^twee= (x₁+ x_twee+ x₃)^twee/3, onze formule wordt:

x₁^twee+ x_twee^twee+ x₃^twee- (x₁+ x_twee+ x₃)^twee/3

En dit is een speciaal geval van de algemene formule die hierboven werd genoemd:

S(x_i^twee)-(S x_i)^twee/ n

Is het echt een snelkoppeling?

Het lijkt misschien niet alsof deze formule echt een snelkoppeling is. In bovenstaand voorbeeld lijkt het er immers op dat er evenveel berekeningen zijn. Een deel hiervan heeft te maken met het feit dat we alleen naar een kleine steekproef hebben gekeken.

Naarmate we de omvang van onze steekproef vergroten, zien we dat de sneltoetsformule het aantal berekeningen met ongeveer de helft vermindert. We hoeven niet het gemiddelde van elk gegevenspunt af te trekken en het resultaat vervolgens te kwadrateren. Dit scheelt aanzienlijk in het totale aantal operaties.