Hoe de formule voor combinaties af te leiden?

PeopleImages.com / Getty Images

Na het zien van formules die in een leerboek zijn afgedrukt of door een leraar op het bord zijn geschreven, is het soms verrassend om te ontdekken dat veel van deze formules kunnen worden afgeleid uit enkele fundamentele definities en zorgvuldig nadenken. Dit geldt met name in waarschijnlijkheid bij het onderzoeken van de formule voor combinaties. De afleiding van deze formule is eigenlijk alleen afhankelijk van het vermenigvuldigingsprincipe.

Het vermenigvuldigingsprincipe

Stel dat er een taak moet worden uitgevoerd en deze taak is opgedeeld in in totaal twee stappen. De eerste stap kan worden gedaan in k manieren en de tweede stap kan worden gedaan in n manieren. Dit betekent dat navermenigvuldigendeze getallen samen, het aantal manieren om de taak uit te voeren is zoals .

Als je bijvoorbeeld tien soorten ijs hebt om uit te kiezen en drie verschillende toppings, hoeveel ijscoupes kun je dan maken? Vermenigvuldig drie met 10 om 30 ijscoupes te krijgen.

Permutaties vormen

Gebruik nu het vermenigvuldigingsprincipe om de formule af te leiden voor het aantal combinaties van r elementen uit een set van n elementen. Laten P(n,r) geef het aantal aan permutaties van r elementen uit een set van n en C(n,r) geef het aantal combinaties van aan r elementen uit een set van n elementen.

Denk na over wat er gebeurt bij het vormen van een permutatie van r elementen uit een totaal van n . Zie dit als een proces in twee stappen. Kies eerst een set van r elementen uit een set van n . Dit is een combinatie en er zijn C (n, r) manieren om dit te doen. De tweede stap in het proces is om te bestellen r elementen met r keuzes voor de eerste, r - 1 keuzes voor de tweede, r - 2 voor de derde, 2 keuzes voor de voorlaatste en 1 voor de laatste. Volgens het vermenigvuldigingsprincipe zijn er: r x ( r -1 ) x . . . x 2 x 1 = r ! manieren om dit te doen. Deze formule is geschreven met faculteitsnotatie .

De afleiding van de formule

Om samen te vatten, P ( n , r ), het aantal manieren om een ​​permutatie van te vormen r elementen uit een totaal van n wordt bepaald door:

1. Een combinatie vormen van r elementen op een totaal van n in een van de C ( n , r ) manieren
2. Deze bestellen r elementen een van r ! manieren.

Volgens het vermenigvuldigingsprincipe is het aantal manieren om een ​​permutatie te vormen P ( n , r ) = C ( n , r ) x r !.

De formule voor permutaties gebruiken P ( n , r ) = n !/( n - r )!, dat kan worden vervangen in de bovenstaande formule:

n !/( n - r )! = C ( n , r ) r !.

Los dit nu op, het aantal combinaties, C ( n , r ), en zie dat C ( n , r ) = n !/[ r !( n - r )!].

Zoals aangetoond, kan een beetje nadenken en algebra een lange weg gaan. Andere formules in kansrekening en statistiek kunnen ook worden afgeleid met enkele zorgvuldige toepassingen van definities.