Exponentiële functie en verval

In wiskunde, exponentieel verval beschrijft het proces van het verminderen van een bedrag met een consistent percentage over een bepaalde periode. Het kan worden uitgedrukt door de formule y=a(1-b)^x waarin Y is het eindbedrag, a is het oorspronkelijke bedrag, b is de vervalfactor, en x is de hoeveelheid tijd die is verstreken.

De formule voor exponentieel verval is nuttig in een verscheidenheid aan toepassingen in de echte wereld, met name voor het bijhouden van voorraad die regelmatig in dezelfde hoeveelheid wordt gebruikt (zoals voedsel voor een schoolkantine) en het is vooral handig om snel de kosten op lange termijn te beoordelen gebruik van een product in de loop van de tijd.

Exponentieel verval is anders dan: lineair verval in die zin dat de vervalfactor afhankelijk is van een percentage van het oorspronkelijke bedrag, wat betekent dat het werkelijke aantal waarmee het oorspronkelijke bedrag zou kunnen worden verminderd in de loop van de tijd zal veranderen, terwijl een lineaire functie het oorspronkelijke aantal elke keer met hetzelfde bedrag verlaagt.

Het is ook het tegenovergestelde van exponentiële groei , wat meestal voorkomt op de aandelenmarkten waar de waarde van een bedrijf in de loop van de tijd exponentieel zal groeien voordat het een plateau bereikt. Je kunt de verschillen tussen exponentiële groei en verval vergelijken en contrasteren, maar het is vrij eenvoudig: de ene verhoogt de oorspronkelijke hoeveelheid en de andere verlaagt deze.

Elementen van een exponentiële vervalformule

Om te beginnen is het belangrijk om de exponentiële vervalformule te herkennen en elk van zijn elementen te kunnen identificeren:

y = a(1-b)^x

Om het nut van de vervalformule goed te begrijpen, is het belangrijk om te begrijpen hoe elk van de factoren wordt gedefinieerd, te beginnen met de uitdrukking 'vervalfactor' - weergegeven met de letter b in de exponentiële vervalformule - wat een percentage is waarmee het oorspronkelijke bedrag elke keer zal afnemen.

Het oorspronkelijke bedrag hier - weergegeven door de letter a in de formule - is de hoeveelheid voordat het verval optreedt, dus als je hier in praktische zin over nadenkt, zou de oorspronkelijke hoeveelheid de hoeveelheid appels zijn die een bakkerij koopt en de exponentiële factor zou het percentage appels zijn dat elk uur wordt gebruikt taarten te maken.

De exponent, die in het geval van exponentieel verval altijd de tijd is en wordt uitgedrukt door de letter x, geeft aan hoe vaak het verval optreedt en wordt meestal uitgedrukt in seconden, minuten, uren, dagen of jaren.

Een voorbeeld van exponentieel verval

Gebruik het volgende voorbeeld om het concept van exponentieel verval in een realistisch scenario te begrijpen:

Op maandag bedient Ledwith's Cafetaria 5.000 klanten, maar op dinsdagochtend meldt het lokale nieuws dat het restaurant niet voldoet aan de gezondheidsinspectie en - sorry! - schendingen heeft met betrekking tot ongediertebestrijding. Dinsdag bedient de kantine 2500 klanten. Woensdag bedient de cafetaria slechts 1.250 klanten. Donderdag bedient de kantine maar liefst 625 klanten.

Zoals u kunt zien, daalde het aantal klanten elke dag met 50 procent. Dit type daling verschilt van een lineaire functie. In een lineaire functie , zou het aantal klanten elke dag met hetzelfde bedrag afnemen. Het oorspronkelijke bedrag ( a ) zou 5.000 zijn, de vervalfactor ( b ) zou daarom 0,5 zijn (50 procent geschreven als een decimaal), en de waarde van tijd ( x ) wordt bepaald door het aantal dagen dat Ledwith de resultaten wil voorspellen.

Als Ledwith zou vragen hoeveel klanten hij in vijf dagen zou verliezen als de trend zich voortzet, zou zijn accountant de oplossing kunnen vinden door alle bovenstaande getallen in de exponentiële vervalformule in te vullen om het volgende te krijgen: ​

y = 5000 (1-0,5)⁵

De oplossing komt uit op 312 en een half, maar aangezien je geen halve klant kunt hebben, zou de accountant het getal afronden naar 313 en zou kunnen zeggen dat Ledwith over vijf dagen nog eens 313 klanten zou verliezen!